【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠F=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠F=∠DBF， ∴DB=DF， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
，即
，
解得：DE=， ∵DF=DB=2， ∴EF=DF﹣DE=2﹣故答案为：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC． 2 (2018四川省绵阳市)如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________.
，
【答案】
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD、BE为三角形中线，
13
∴DE∥AB，DE= AB， ∴△DOE∽△AOB， ∴
=
=
= ，
设OD=x，OE=y， ∴OA=2x，OB=2y, 在Rt△BOD中， x+4y=4 ①， 在Rt△AOE中， 4x+y= ②， ∴①+ ②得： 5x+5y=
2
2
2
2
2
2
2
2
，
∴x+y= ， 在Rt△AOB中，
∴AB=4x+4y=4（x+y）=4× ， 即AB=
.
.
2
2
2
2
2
故答案为：
【分析】连接DE，根据三角形中位线性质得DE∥AB，DE= AB，从而得△DOE∽△AOB，根据相似三角形的性质可得
2
2
=
2
2
= = ；设OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y,
2
2
根据勾股定理可得x+4y=4，4x+y= ，两式相加可得x+y= ，在Rt△AOB中，由股股定理可得AB=
3（2018·广东广州·3分）如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
.
14
①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE ③AF：BE=2：3 ④
其中正确的结论有________。（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，∴AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB， ∴∠OAE=∠OBC， ∴△AOE≌△BOC（ASA）， ∴AE=BC， ∴AE=BE=CA=CB， ∴四边形ACBE是菱形， 故①正确.
②由①四边形ACBE是菱形， ∴AB平分∠CAE， ∴∠CAO=∠BAE，
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD， ∴∠CAO=∠ACD， ∴∠ACD=∠BAE. 故②正确.
③∵CE垂直平分线AB， ∴O为AB中点，
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AO= AB= CD， ∴△AFO∽△CFD， ∴
= ，
∴AF:AC=1:3, ∵AC=BE， ∴AF:BE=1:3, 故③错误. ④∵
·CD·OC,
15
由③知AF:AC=1:3, ∴ ∵ ∴ ∴ 故④正确. 故答案为：①②④.
【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.
②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得BA∥CD，再由平行线的性质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.
③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD，AO= AB= CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形性质得
= ，从而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③错误.
·CD·OC,从③知AF:AC=1:3,所以
+
=
=
,从而得出
= × CD·OC= =
+
= ,
=
,
,
④由三角形面积公式得
= 故④正确.
4（2018·广东深圳·3分）在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE
相交于点F，且AF=4,EF= ,则AC=________．
【答案】
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质
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