（Ⅱ）由余弦定理得：∴∴当且仅当∴
，
，
时“”成立，此时的面积的最大值为．
，
为等边三角形，
19.2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查. （1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的
列联表.
请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； （3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.
参考公式：
0.05 3.841 0.01 6.635 .
【答案】（1）【解析】 【分析】
，男生55人；（2）见解析；（3）
（1）利用频率与频数和样本容量的关系求出n和男生的人数； （2）求出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）由分层抽样得到6名学生中男、女人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（1）由题意得：（2）列联表为： 男生 女生 总计
，
，
选择“物理” 45 25 70 选择“地理” 10 20 30 总计 55 45 100 ，解得
，男生人数为：550×
=55人．
所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关. （3）从30个选择地理的学生中分层抽样抽6名， 所以这6名学生中有2名男生，4名女生，
男生编号为1，2，女生编号为a，b，c，d，6名学生中再选抽2个，
则所有可能的结果为Ω={ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12}， 至少一名男生的结果为{a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，12}， 所以2人中至少一名男生的概率为
列联表；（2）根据公式
【点睛】（1）独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成
计算
的值；(3) 查表比较
与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
（2）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 20.如图所示，正三棱柱
的高为2，点是
的中点，点是
的中点．
（1）证明：（2）若三棱锥
平面；
的体积为，求该正三棱柱的底面边长.
【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）连接（2）由
，推导出
，作
，由此能证明交
平面
1
．
平面
1
于点，由正三棱柱的性质，得的高
，
设底面正三角形边长为，则三棱锥边长．
【详解】（1）如图，连接所以在
平面 平面所以
平面
中，，
， .
,
，由此能求出该正三棱柱的底面
，因为是的中点，是的中点，
（2）
解：由等体积法，得因为是到平面如图，作
的中点，所以点到平面的距离的一半. 交
，
的距离是点，
于点，由正三棱柱的性质可知，
，
平面.设底面正三角形的
边长，则三棱锥的高
,
所以
所以该正三棱柱的底面边长为.
，解得，
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 21.已知函数（1）求（2）若
的解析式；
恒成立，则称
为
的一个上界函数，当（1）中的
为函数
在
处的切线方程为
.
的一个上界函数时，求的取值范围； （3）当
时，对（1）中的
；（2）
，讨论；（3）在
且
上，当时，
在区间时，
上极值点的个数.
或
【答案】（1）者
时，
无极值点；当
有1个极值点．；当有2个极值点．
【解析】
试题分析：（1）求导，根据导数的几何意义
，由题意知
，解方程组可得
的值．（2）
问题等价于恒成立，再转化为对恒成立．命名新函数令
求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，根据函数的单调性求其最值．令
其最小值大于等于0即可．（3）求导，讨论导数的正负得函数的单调区间．根据单调性求其最值．讨论最值与0的大小，结合函数图像判断零点个数． 试题解析：（1）（2）令
恒成立
则
单调递减，
，由已知对
恒成立． ，当
，故
）时，．
单调递增，当
时，
解得
（3）由（1）知
，
①当
时，
的解为
．
在（0，2）上单调递增，无极值点；
②当且，即且时，有2个极值点；
③当或，即或者时，有1个极值点．
综上知，在当
且
上，当时，
时，无极值点；当或者时，有1个极值点；
有2个极值点．
考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质．
22.在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为【答案】(1) 【解析】
，直线与曲线的交点为 (2)3
，求
.
的值.
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