《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究

《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究

函数可以用解析式和图象表示，在解决函数零点有关问题时，常常会画出相关函数图象，让问题变得直观清晰．

题型一 解决一般函数零点有关问题

【例1】若关于x的方程x＋1－x＝m有两个不同的实根，求实数m的取值范围． 解析 将方程变形为直角坐标系中作出f(x)＝

x＋1＝m＋x，引入两个函数f(x)＝

x＋1，g(x)＝x＋m，在同一

x＋1(x≥－1)与g(x)＝x＋m(x≥－m)的图象，如图所示．

g(x)＝x＋m(x≥－m)表示以(－m,0)为端点位于x轴上方的动射线，f(x)＝表示是由幂函数y＝x向左平移一个单位得到的图象．

当m＝1时，射线与曲线恰有两个交点；

当射线与曲线相切，即方程x＋1＝(m＋x)2只有一个解时，由x2＋(2m－1)x＋m2－1＝05得Δ＝(2m－1)2－4(m2－1)＝0，所以m＝.

4

55

1，?. 结合图形得1≤m<.故实数m的取值范围为??4?4

涉及方程根的个数问题一般要用到数形结合．首先要观察，把左右两边变成熟悉且容易画出图象的函数，然后找到临界状态(“形”的功能达成)，再通过运算，计算出临界状态的参数值(这就是“以数辅形”)，最后根据运动变化的过程写出参数范围．

【变式1】已知函数f(x)＝ex－ax2，f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a.

ex?x－2?exex

解析 令f(x)＝0可得a＝2，设g(x)＝2，则g′(x)＝，所以g(x)在(0,2)上单调递

xxx3

e2

减，在(2，＋∞)上单调递增，画出g(x)的草图如图所示，又由图象可知g(x)min＝g(2)＝，

4e2e2

要使g(x)＝a只有一个零点，则需a＝g(2)＝.故a的值为.

44

x＋1(x≥－1)

题型二 解决分段函数零点有关问题

??|ln x|，x>0，

【例2】已知f(x)＝?若方程f(x)－a2＝0有三个不同的实数根，则实数a

?x＋1，x≤0，?

的取值范围为________.

??|ln x|，x>0，

解析 作出函数f(x)＝?的图象，如图所示．

??x＋1，x≤0

方程f(x)－a2＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a2有三个不同的交点，根据图象可知，当0＜a2≤1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a2有三个不同的交点，故a的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．

答案 [－1,0)∪(0,1]

lg x，0

【变式2】 已知函数f(x)＝??1?若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，

6－x，x>10，???2?则a＋b＋c的取值范围为________.

1

6－x?＝1，得x＝10或x＝14.作出f(x)的图象如图所示，若有f(a)解析 lg 10＝1，令??2?＝f(b)＝f(c)，结合图形可知0

答案 (25,34)

题型三 解决复合函数零点有关问题)

|x1|?－1，x≥0，?5?【例3】设定义域为R的函数f(x)＝2若关于x的方程[f(x)]2－(2m＋?x＋4x＋4，x<0，?

－

1)f(x)＋m2＝0有7个不同的实数解，则m＝( )

A．6 C．6或2

B．4或6 D．2

D 解析 画出f(x)的图象，如图所示．设f(x)＝t，f(x)＝t可能有0,2,3,4个解，原方程有7个不同的实数解，则要求方程t2－(2m＋1)t＋m2＝0的两根中一个根t对应3个x，此时t＝4，另一个根t对应4个x，此时0

复合函数相关的零点问题，常常把复合函数分解成两个简单函数，先画确定的简单函数的图象，然后明确对含参函数的要求，据此列出条件求解．

2??x－1，x≥0，

【变式3】 已知函数f(x)＝?则关于x的方程f(f(x))＋k＝0，给出下列四

?－2x，x<0，?

个命题：

①存在实数k，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．其中真命题的所有序号是________．

2??x－1，x≥0，

解析 因为函数f(x)＝?所以当x<0时，f(x)＝－2x>0，所以f(f(x))＝(－

??－2x，x<0，

2x)2－1＝4x2－1；当x≥1时，f(x)＝x2－1≥0，所以f(f(x))＝(x2－1)2－1＝x4－2x2；当0≤x＜1时，f(x)＝x2－1<0，所以f(f(x))＝－2·(x2－1)＝2－2x2.由f(f(x))＋k＝0，得－k＝f(f(x))．在直角坐标系内作出函数y＝f(f(x))的图象如图所示，易知①②③均为真命题．

答案 ①②③