《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究
函数可以用解析式和图象表示,在解决函数零点有关问题时,常常会画出相关函数图象,让问题变得直观清晰.
题型一 解决一般函数零点有关问题
【例1】若关于x的方程x+1-x=m有两个不同的实根,求实数m的取值范围. 解析 将方程变形为直角坐标系中作出f(x)=
x+1=m+x,引入两个函数f(x)=
x+1,g(x)=x+m,在同一
x+1(x≥-1)与g(x)=x+m(x≥-m)的图象,如图所示.
g(x)=x+m(x≥-m)表示以(-m,0)为端点位于x轴上方的动射线,f(x)=表示是由幂函数y=x向左平移一个单位得到的图象.
当m=1时,射线与曲线恰有两个交点;
当射线与曲线相切,即方程x+1=(m+x)2只有一个解时,由x2+(2m-1)x+m2-1=05得Δ=(2m-1)2-4(m2-1)=0,所以m=.
4
55
1,?. 结合图形得1≤m<.故实数m的取值范围为??4?4
涉及方程根的个数问题一般要用到数形结合.首先要观察,把左右两边变成熟悉且容易画出图象的函数,然后找到临界状态(“形”的功能达成),再通过运算,计算出临界状态的参数值(这就是“以数辅形”),最后根据运动变化的过程写出参数范围.
【变式1】已知函数f(x)=ex-ax2,f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,求a.
ex?x-2?exex
解析 令f(x)=0可得a=2,设g(x)=2,则g′(x)=,所以g(x)在(0,2)上单调递
xxx3
e2
减,在(2,+∞)上单调递增,画出g(x)的草图如图所示,又由图象可知g(x)min=g(2)=,
4e2e2
要使g(x)=a只有一个零点,则需a=g(2)=.故a的值为.
44
x+1(x≥-1)
题型二 解决分段函数零点有关问题
??|ln x|,x>0,
【例2】已知f(x)=?若方程f(x)-a2=0有三个不同的实数根,则实数a
?x+1,x≤0,?
的取值范围为________.
??|ln x|,x>0,
解析 作出函数f(x)=?的图象,如图所示.
??x+1,x≤0
方程f(x)-a2=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a2有三个不同的交点,根据图象可知,当0<a2≤1时,函数y=f(x)的图象与直线y=a2有三个不同的交点,故a的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
答案 [-1,0)∪(0,1]
lg x,0
【变式2】 已知函数f(x)=??1?若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
6-x,x>10,???2?则a+b+c的取值范围为________.
1
6-x?=1,得x=10或x=14.作出f(x)的图象如图所示,若有f(a)解析 lg 10=1,令??2?=f(b)=f(c),结合图形可知0
答案 (25,34)
题型三 解决复合函数零点有关问题)
|x1|?-1,x≥0,?5?【例3】设定义域为R的函数f(x)=2若关于x的方程[f(x)]2-(2m+?x+4x+4,x<0,?
-
1)f(x)+m2=0有7个不同的实数解,则m=( )
A.6 C.6或2
B.4或6 D.2
D 解析 画出f(x)的图象,如图所示.设f(x)=t,f(x)=t可能有0,2,3,4个解,原方程有7个不同的实数解,则要求方程t2-(2m+1)t+m2=0的两根中一个根t对应3个x,此时t=4,另一个根t对应4个x,此时0
复合函数相关的零点问题,常常把复合函数分解成两个简单函数,先画确定的简单函数的图象,然后明确对含参函数的要求,据此列出条件求解.
2??x-1,x≥0,
【变式3】 已知函数f(x)=?则关于x的方程f(f(x))+k=0,给出下列四
?-2x,x<0,?
个命题:
①存在实数k,使得方程恰有1个实根;②存在实数k,使得方程恰有2个不相等的实根;③存在实数k,使得方程恰有3个不相等的实根;④存在实数k,使得方程恰有4个不相等的实根.其中真命题的所有序号是________.
2??x-1,x≥0,
解析 因为函数f(x)=?所以当x<0时,f(x)=-2x>0,所以f(f(x))=(-
??-2x,x<0,
2x)2-1=4x2-1;当x≥1时,f(x)=x2-1≥0,所以f(f(x))=(x2-1)2-1=x4-2x2;当0≤x<1时,f(x)=x2-1<0,所以f(f(x))=-2·(x2-1)=2-2x2.由f(f(x))+k=0,得-k=f(f(x)).在直角坐标系内作出函数y=f(f(x))的图象如图所示,易知①②③均为真命题.
答案 ①②③
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