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第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题 1．曲线积分
?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导L?数，且f(0)?0，则f(x)? B
A.
1?xx11(e?e) B. (ex?e?x) C. (ex?e?x) D.0 222?ydx?xdy? C ??x?yC2．闭曲线C为x?y?1的正向，则
A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x?y?1的正向，则
22?ydx?xdy? D 22??4x?yC2A.?2? B. 2? C.0 D. ? 4．?为YOZ平面上y?z?1，则
22??(x??y2?z2)ds? D
1214222225．设C:x?y?a，则??(x?y)ds? C
C22A.0 B. ? C. ? D. ?
A.2?a B. ?a C. 2?a D. 4?a 6. 设?为球面x?y?z?1，则曲面积分
22233??1??dSx?y?z12222的值为 [ B ]
A.4? B.2? C.? D.?
7. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分
?Lyds?[ C ]
A. 8. 设I=?2211 B. ? C. D. ?
2222Lyds 其中L是抛物线y?x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=[D ]
A.
555555?155?1 B. C. D. 6126129. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么 ? 是（ D ） A.
11； B. xdx?ydyydy?xdx； ??ll22.下载可编辑.
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C.
211； D. ydx?xdyxdy?ydx。
2?l2?l22210．设S:x?y?z?R(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有 C
A.C.
??xds?4??xds B.??yds?4??yds
SS1SS1??zds?4??zds D.??xyzds?4??xyzds
SS1SS1
二、填空题
1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
?Lydx?(ey2?x)dy? -2
2.S为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0 s3.
x2?y2?1x?y?ydx?xdy22 =?2?
4．曲线积分
322a2?a，其中是圆心在原点，半径为的圆周，则积分值为 (x?y)dsC??C5．设∑为上半球面z?4?x2?y22?z?0?，则曲面积分???x2?y2?z2?ds= 32π
?6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分
2???xC2?y2?3x?ds? 2? . 7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分8. 设?为上半球面z?4?x?y，则曲面积分
22?C(x?y)ds?1+832 ??1??dsx2?y2?z2的值为 ?。
9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是
S???1?(D?z2?z)?()2d? ?x?y310．设L是抛物线y?x上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x?4y)dx?
L?12
11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?3t上相应于t从0到?的一段弧，
则曲线积分I??(x2?y2?z2)ds? 2??1??2? 。
?12、设L为x?y?a的正向，则
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222xdy?ydx??Lx2?y2? 2? 。
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三、计算题 1．eL?x2?y2 ds，其中L为圆周x2?y2?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA方程y?x,0?x?线段OB方程y?0,0?x?1。
?x?cos?2?，圆弧AB方程?,0??? 24?y?sin?则原式＝
OA?ex2?y2ds＋
AB?ex2?y2ds＋
OB?ex2?y2ds＝?22?0e2x2dx＋?4ed?＋?exdx
001＝2(e?1)? 2．
?4e ＃
?Lx2?y2dx?y[xy?ln(x?x2?y2)]dy，其中L为曲线y?sinx,0?x??与直线
段y?0,0?x??所围闭区域D的正向边界。 解：利用格林公式，P?
x2?y2，Q?y[xy?ln(x?x2?y2)]，则
，?P??yyx2?y2?Qy ?y2?22?xx?y故原式＝
??(D?Q?P?)dxdy???y2dxdy??x?yD22??0dx?sinx0y2dy＝
1?34 ＃ sinxdx??039223．ydx?xdy，其中L为圆周x?y?R的上半部分，L的方向为逆时针。
?L2解：L的参数方程为?故原式＝
?x?Rcost，t从0变化到?。
?y?Rsint??0[R2sin2t(?Rsint)?R2cos2t(Rcost)]dt
＝R34322[(1?cost)(?sint)?(1?sint)cost]dt＝?R ＃ ?03?224．求抛物面z?x?y被平面z?1所割下的有界部分?的面积。
解：曲面?的方程为z?x?y,(x,y)?D，这里D为?在XOY平面的投影区域
22{(x,y)x2?y2?1}。
故所求面积＝
??D221?zx?zydxdy???D1?4(x2?y2)dxdy
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??d??02?101?4r2rdr?55?1? ＃ 6222xx5、计算(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy，其中L为圆(x?a)?y?a(a?0)的上
?L半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点O。
解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式
P?(exsiny?my)，Q?excosy?m，
于是(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＋
L?P?Q?excosy?m，?excosy ?y?xx?xxOA??(esiny?my)dx?(excosy?m)dy
m?a2＝m??dxdy?
2D而
xx(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＝?0dx?0?0，于是便有 ?2aOA?0m?a2 ?(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＝ ＃
2Lxx2222226．(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz，其中L为球面x?y?z?1在第一
?L222卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程
?x?0?? ?y?cost，t从变化到0。
2?z?sint?于是
0422222222＝＝ [sint(?sint)?cost(cost)]dt(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz???32AB由对称性即得
?(yL2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?3?(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?4AB ＃ 7．
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy，其中?为平面x?y?z?1,x?0,?y?0,
z?0所围立体的表面的外侧。
解：记?1为该表面在XOY平面内的部分，?2为该表面在YOZ平面内的部分，
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?3为该表面在XOZ平面内的部分，?4为该表面在平面x?y?z?1内的部分。 ?1的方程为z?0,0?y?1?x,0?x?1，根据定向，我们有
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy＝??(z?1)dxdy＝??1?10?x?10?y?1?x??1dxdy??
2同理，
1 (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?21 (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?3?4的方程为z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1，故
??(z?1)dxdy??40?x?10?y?1?x??(2?x?y)dxdy?2， 3由对称性可得
??(x?1)dydz??4??(y?1)dzdx??42， 3故
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?2
?411?3? ＃ 22x?y8．计算曲面积分：??(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?e)dxdy，其中
于是所求积分为2?S?S?为曲面x?y?z?1的外侧。
解：利用高斯公式，所求积分等于
11(1?2?3)dxdydz=6g8gg=8 ＃ ???32u?v?w?19. 计算I=??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立
s体的表面外侧
解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass公式得:
I=???(x?y?z)dxdydz
V =?dx? =
101?x1?x?ydy?(x?y?z)dz 001 ＃ 8.下载可编辑.
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