a+b?b+a；(a+b)+c?a+ (b+c)；0+a?a，向量相加，和为向量．
③ 坐标运算：
a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，a+b?(x1?x2,y1?y2)．
减法：
① 减法法则：(如图)连接两个向量的终点，方向指向被减数． ② 坐标运算：
a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，a－b?(x1?x2,y1?y2)．
实数与向量的积：
① 定义：?a
当??0时，?a与a同向，∣?a∣=?∣a∣； 当??0时，?a与a反向，∣?a∣=-?∣a∣； 0×a?0． ② 运算性质：
?(?a)?(??)a；(???)a??a+?a；?(a+b)??a??b． ③ 坐标运算
a?(x,y)，则?a?(?x,?y)． 注：(?,u?R)．
向量的数量积：
① 定义：
(如图)?为两非零向量的夹角，?的范围：?0?,180??．注意a与b同向． 当??0?时，a与b同向； 当??90?时，a?b；
当??180?时，a与b反向．
a×b记为a与b的数量积．a×b=∣a∣×∣b∣?cos?(?为 a与b的夹角)，数量积的运算结果为实数，特别，0×a = 0． ② 运算性质：
a×b=a×b；(?a)×b=(?b)×a=?(a×b)；
(a+b)×c =a×c＋b×c；特别：(a×b)c?a(b×c)．
③ 坐标运算：
a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a×b?x1x2?y1y2．
5.2.2. 定比分点公式
定比分点公式
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上的两点，点P是l上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数?，
?叫做点P分有向线段PP使PP1??PP2，12所成的比，设P(x,y)则其坐标公式为：
x1??x2?x?，??1?? ?（???1）．
y??y2?y?1?1???其中，当??0时，P在P1P2上；??0时，P在P1P2或P2P1的延长线上．特别当??1时，此时点P是线段P1P2的中点，其坐标公式为：
x1?x2?x?，??2 ??y?y1?y2．?2?
5.2.3. 向量的性质
向量的性质
向量的性质：
非零向量a与b的夹角：
a?b①cos??．
a?b②a与b同向???0???a×b?∣a∣×∣b∣． a与b夹角为锐角?a×b?0． a?b?a×b? 0．
a与b夹角为钝角?a×b?0．
a与b反向???180???a×b?∣a∣×∣b∣．
向量的模的性质：
①a×a ?a2?a．
②∣a×b∣?∣a∣×∣b∣．
常用运算结果：
①(a?b)2?a2?2a×b＋b2． ②(a＋b)(a－b)?a2－b2．
向量平行及垂直的规定：
向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使b??a． 向量a与向量b垂直．?a×b?0． 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，
则a//b?x2y1?x1y2． a?b?x1x2?y1y2?0．
5.2.4. 向量的平移
2向量的平移
平移的定义：
设F为坐标平面内一个图形，将F上所有点按同一个方向移动同样的长度，得到图形F'，这个过程叫图形的平移．将一个图形平移，图形的形状大小不变，只是在坐标平面内的位置发生变化．
平移公式：
设P(x,y)为图形F上任一点，它按向量a?(h，k)平移后的图形F'上的对应点P'（x'，y'），则有?x'?x?h在P(x,y)，P'（x'，y'），及a?(h,k)中，已知其中二个，可求另外一个，但要注意顺序性． ??y'?y?k
点平移：
（1）求点P(x,y)，按平移向量a?(h，k)的点P'坐标，可直接应用平移公式．
（2）已知平移向量a及平移后的点P'?x',y'?，求相应的平移前的点坐标P?x,y?，则
?x?x'?h， ?y?y'?k．?
函数图像平移：
坐标代入法：已知y?f(x)及a?(h，k)，求f(x)按a平移后的函数解析式．设P'?x',y'?为平移后
?x'?x?h?x?x'?h图形上任一点，P?x,y?为平移之前的对应点，则?．P?x,y?在y?f(x)上，代入??y'?y?ky?y'?k??坐标y'?k?f(x'?h)，注意“对号入座”，只有图形上的点，才能把坐标代入相应的图形解析式中．
5.3. 解斜三角形（包含题目总数：14） 5.3.1. 正弦定理
正弦定理
正弦定理：
abc???2R(R为?ABC外接圆半径)． sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
5.3.2. 余弦定理
余弦定理
余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA，
b2?a2?c2?2accosB， c2?b2?a2?2abcosC，
b2?c2?a2或 cosA?，
2bcc2?a2?b2cosB?，
2caa2?b2?c2cosC?．
2ab特别，当C?90?时，有a2?b2?c2，即为勾股定理．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
5.3.3. 解斜三角形的方法
解斜三角形的方法
三角形有六个元素(三条边与三个内角)，如果已知三个元素(至少有一条边)，可求其他元素与面积，其主要公式与定理有：
1、三角形内角和定理．
2、三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3、三角形中大边对大角，小角对小边． 4、正弦定理． 5、余弦定理．
6、三角形面积公式：
111(1)S??absinC?acsinB?bcsinA；
2221(2)S??pr(其中p?(a?b?c)，r为三角形内切圆半径)；
2abc(3)S??(其中R为三角形外接圆半径)；
4R1(4)S??p(p?a)(p?b)(p?c)(其中p?(a?b?c))．
2
5.3.4. 解斜三角形的应用
解斜三角形的应用
例 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98?的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似地取为东经98?和北纬??40?，已知地球半径为R，地球自转周期T，地球表面重力加速度g（视作常量）和光速c．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需时间（要求用题给的已知量的符号表示）
分析：按题作示意图如下，其中O表示地心，Q表示嘉峪关，P表示卫星．L?PQ，OP?r，设微波信号到达嘉峪关需t秒钟，则L?ct．运用余弦定理，可以算出L，从而可得t．
解：根据万有引力定律，有
Mm4?2G2?m?2?r?????????? ① rTMmG2?mg ???????????? ② R4?232把②代入①得 mgR?m?2?r，
T?gRT?3∴r???4?2??．
??在?OPQ中，由余弦定理，有
L2?r2?R2?2Rrcos? ?????? ③ ?gRT∴L???4?2?222221????23?gRT?R?2Rcos????4?2?222????13．
13?gR2T2?∴L???4?2????又L?ct，
23?gR2T2?2?R?2Rcos????4?2????1．
?gR2T2?31?gR2T2?32∴t?． ?R?2Rcos????2?2?c?4???4??评议：本题应用余弦定理解决实际问题．如果以实际数据g?9.8m/s2，R?6400km，T?24h，代入
?gRT?3757?L?3.76?10mc?3.0?10km/s代入，有t?0.125s．可见r???4.23?10m，代入③得，以?4?2???同步卫星运用于通讯、电视转播是很恰当的．
6. 不等式（分类） 6.1. 不等式的性质（包含题目总数：8）
2212不等式的性质
不等式的定义：
用不等号连结两个解析式所成的式子叫做不等式．不等号包括：＞、≥、＜、≤、≠．
不等式的分类：
绝对不等式：如果不论用什么数值代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫做绝对不等式．
如：(x?2)(x?6)?(x?5)(x?1)，
x?3?x?2．
条件不等式：如果只能用某些范围内的数值代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫做条件不等式．
如：(x?2)(x?6)?(x?5)(x?2)，
(x?1)2?x2?1．
矛盾不等式：如果不论用什么数值代替不等式中的字母，它都不能成立，这样的不等式叫做矛盾不等式．
如：x2?1?0．
两个实数比较大小的依据： a?b?0?a?b； a?b?0?a?b； a?b?0?a?b．
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