高中数学必修四
→→→→
对应的向量即为向量a＝OP＋OQ，则a与FO长度相等，方向相同，所以a＝FO.
【答案】 C
4.下列结论中，正确结论的个数为( )
【导学号：72010044】
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；→→→→→→
②在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
A.0个 C.2个
B.1个 D.3个
【解析】 当a＋b＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A，B，C三点共线时知③不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.
【答案】 B
→→→→
5.在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是( ) A.菱形 C.正方形
→→→
【解析】 ∵|BC＋BA|＝|BD|， →→→→→|BC＋AB|＝|AB＋BC|＝|AC|， →→
∴|BD|＝|AC|，∴?ABCD是矩形. 【答案】 B 二、填空题
6.若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
B.矩形 D.不确定
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【解析】 如图所示，作OA＝a，AB＝b， →→→
则a＋b＝OA＋AB＝OB.
高中数学必修四
→
所以|a＋b|＝|OB| ＝8＋8＝82(km)， 因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向. 【答案】 82 km 东北方向
7.(2016·济南高一检测)当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
【解析】 当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角.
【答案】 |a|＝|b| 三、解答题
→→
8.已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|. →→
【解】 如图，∵|OA|＝|OB|＝3，
2
2
∴四边形OACB为菱形.
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D. →
∵∠AOB＝60°，∴AB＝|OA|＝3， 33
∴在Rt△BDC中，CD＝，
2→
33
∴|OC|＝|a＋b|＝×2＝33.
2
→→→
9.如图2-1-17，已知D，E，F 分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：AD＋BE＋CF＝0.
图2-1-17
→→→→→→→→→
【证明】 由题意知：AD＝AC＋CD，BE＝BC＋CE，CF＝CB＋BF.
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由平面几何可知，EF＝CD，BF＝FA.
→→→→→→→→→∴AD＋BE＋CF＝(AC＋CD)＋(BC＋CE)＋(CB＋BF) →→→→→→＝(AC＋CD＋CE＋BF)＋(BC＋CB) →→→→→
＝(AE＋EC＋CD＋CE＋BF)＋0 →→→→→→
＝AE＋CD＋BF＝AE＋EF＋FA＝0， →→→
∴AD＋BE＋CF＝0.
[能力提升]
→→→
1.在正六边形ABCDEF 中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于( ) A.1 C.3
B.2 D.4
→→→
【解析】 如图，∵AB＋FE＋CD →→→→＝AB＋BC＋CD＝AD，
→→→→→∴|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2|AO| →
＝2|AB|＝2.故选B. 【答案】 B
2.如图2-1-18，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.
图2-1-18
【解】 如图，作?OACB，
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使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°. →→
设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力， →→
则CO表示物体的重力，且|OC|＝300(N)， →→
∴|OA|＝|OC|cos 30°＝1503(N)， →→
|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N).
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
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