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课时提升作业(十四)
平面与平面垂直的判定
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ( ) A.0个 B.1个 C.无数个 D.1个或无数个
【解析】选D.当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个. 2.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是 ( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定
【解析】选C.若方向相同则相等,若方向相反则互补.
3.(2015·石家庄高一检测)自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是 ( ) A.相等 B.互补 C.互余 D.无法确定
【解析】选B.如图,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,BD⊥l,CD⊥l,则 ∠BDC为二面角α-l-β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠BAC+∠BDC=
- 1 -
180°.
4.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有 对. ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为AB⊥平面BCD,且AB?平面ABC和AB?平面ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又因为BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.因为CD?平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.
5.在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=AB,这时二面角B-AD-C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.45° D.120°
【解析】选A.∠BDC为二面角B-AD-C的平面角,设正三角形ABC的边长为m,则折叠后,BC=m,BD=DC=m,所以∠BDC=60°. 二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若P是△ABC所在平面外一点,而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=
,那么二面角P-BC-A的大小为 .
- 2 -
【解析】取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=答案:90°
【拓展延伸】求二面角的步骤
,PA=
,所以△POA为直角三角形,∠POA=90°.
简称为“一作二证三求”.
7.如图:检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了 .
【解析】如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB?β,OC?β,且OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,又OA?α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:面面垂直的判定定理
8.(2015·泰安高一检测)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则BC= .
- 3 -
【解析】连接BC.因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD, 所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角, 因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°. 在△BCD中∠BDC=90°. BD=CD=, 则BC=答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.
=
=1.
【解题指南】要证面面垂直,需证线面垂直.这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD”与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁. 【证明】连接AC,交点为F,连接EF, 所以EF是△SAC的中位线,所以EF∥SC. 因为SC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD. 又EF?平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.
10.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
- 4 -
【解析】因为SA⊥平面ABC,
所以SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,SA⊥BD. 由已知得SC⊥ED,SE=EC,SB=BC,
所以SC⊥BE,因为DE∩BE=E,所以SC⊥平面BED,所以SC⊥BD. 又因为BD⊥SA,SA∩SC=S,
所以BD⊥平面SAC,所以BD⊥AC,BD⊥DE, 即∠EDC是二面角E-DB-C的平面角. 设SA=1,则SA=AB=1,而AB⊥BC, 所以SB⊥BC,所以SB=BC=在Rt△SAC中,∠ACS=30°,
所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·济南高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于 ( ) A. B. C.
D.
,所以SC=2.
【解析】选C.连AC交BD于点O,连A1O,则O为BD的中点,因为A1D=A1B,所以在△A1BD中,A1O⊥BD.又在正方形ABCD中,AC⊥BD.所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA1=1,则AO=,所以tan∠A1OA=
.
2.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有
- 5 -
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