2018高考文科数学复习平面向量

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数 学

F单元 平面向量

F1 平面向量的概念及其线性运算 4．A2，F1[2016·北京卷] 设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4．D [解析] 若|a|＝|b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为菱形，a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故选D.

13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的

→→→→→→

两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．

图1-3 7→→→→→→13. [解析] 设BD＝a，DF＝b，则由题意得BA＝a＋3b，CA＝－a＋3b，BF＝a＋b，CF8

→→

＝－a＋b，BE＝a＋2b，CE＝－a＋2b，

→→→→

所以BA·CA＝9b2－a2＝4，BF·CF＝b2－a2＝－1，

513

解得b2＝，a2＝，

88

7→→

于是BE·CE＝4b2－a2＝.

8

14．F1，K2[2016·上海卷] 如图1-2所示，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形→→→

A1A2…A8的中心，A1(1，0)．任取不同的两点Ai，Aj，点P满足OP＋OAi＋OAj＝0，则点P落在第一象限的概率是________．

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图1-2

5

14. [解析] 共有C2其中使点P落在第一象限的基本事件共有C28＝28(个)基本事件，3

285

＋2＝5(个)，故所求概率为. 28

F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 F3 平面向量的数量积及应用 13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的

→→→→→→

两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．

图1-3 7→→→→→→13. [解析] 设BD＝a，DF＝b，则由题意得BA＝a＋3b，CA＝－a＋3b，BF＝a＋b，CF8

→→

＝－a＋b，BE＝a＋2b，CE＝－a＋2b，

→→→→

所以BA·CA＝9b2－a2＝4，BF·CF＝b2－a2＝－1，

513

解得b2＝，a2＝，

88

7→→

于是BE·CE＝4b2－a2＝.

8

13．F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．

13．－2 [解析] 由已知条件，得a·b＝0，即m＋2＝0，即m＝－2.

1331→→

3．F3[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量BA＝（，），BC＝（，），则∠ABC＝( )

2222

A．30° B．45° C．60° D．120°

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→→

BA·BC11333

3．A [解析] cos∠ABC＝＝×＋×＝，又∠ABC∈[0°，180°]，

22→→222

|BA||BC|

∴∠ABC＝30°.

3．F3[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( ) A．－8 B．－6 C．6 D．8

3．D [解析] a＋b＝(4，m－2)，∵(a＋b)⊥b，∴(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8.

1

8．F3[2016·山东卷] 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm

3＋n)，则实数t的值为( )

A．4 B．－4

99C. D．－ 44

18．B [解析] 由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3，|n|＝4.又∵n⊥(tm＋n)，cos〈m，n〉＝，

31

∴n·(tm＋n)＝0，即t×4×3×＋16＝0，解得t＝－4.

3

15．F3[2016·浙江卷] 已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．

1

15. [解析] 由|(a＋b)·e|≤|a·e|＋|b·e|≤6，得|a＋b|≤6，即|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，所以211a·b≤，故a·b的最大值为. 2212．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线→→

y＝1－x2上一个动点，则BP·BA的取值范围是________．

12．[0，1＋2] [解析] 由题意得y＝1－x2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，→→→→

设P(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则BA＝(1，1)，BP＝(cos α，sin α＋1)，所以BP·BAπ→→

＝cos α＋sin α＋1＝2sin(α＋)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤BP·BA≤1＋2.

4

21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线线l过F2且与双曲线交于A，B两点．

π

(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

2→→→

(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A＋F1B)·AB＝0，求l的斜率． 21．解：(1)设A(xA，yA)，

2＝b2(c2－1)＝b4， F2(c，0)，c＝1＋b2，由题意，yA

因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝3|yA|， 即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.

x2－

y2

＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直b2

故双曲线的渐近线方程为y＝±2x. (2)由已知，F1(－2，0)，F2(2，0)．

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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.

y2?2?x－3＝1，

由?得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.

??y＝k（x－2），

因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0. 设AB的中点为M(xM，yM)．

→→→→→由(F1A＋F1B)·AB＝0，即F1M·AB＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1. x1＋x22k26k3k又xM＝＝2，yM＝k(xM－2)＝2，所以kF1M＝2，

2k－3k－32k－33k315所以2·k＝－1，得k2＝，故l的斜率为±. 552k－3 F4 单元综合

→→→→→

10．F4[2016·四川卷] 在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝→→→→→→→→

DB·DC＝DC·DA＝－2，动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是( )

4349A. B. 44

37＋6337＋233C. D.

44

→→→

10．B [解析] 方法一：由题意，因为|DA|＝|DB|＝|DC|，所以D到A，B，C三点的距离相等，D是△ABC的外心．

→→→→→→

DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2?

→→→→→→→→→

DA·DB－DB·DC＝DB·(DA－DC)＝DB·CA＝0，所以DB⊥AC.

同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB， 从而D是△ABC的垂心，

所以△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心， 1→→→→→→→

－?＝－2?|DA|＝2， 所以DA·DB＝|DA||DB|cos∠ADB＝|DA||DB|×??2?所以正三角形ABC的边长为23.

以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，－3)，C(3，3)，D(2，0)． →

由|AP|＝1，设P点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)．

→→

由PM＝MC，可知M是PC的中点，

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