??B??C，
??C??BAE，
Q?GEF??BAC?180?，
??AGE??AFE?360??180??180?， Q?AFE??CFE?180?， ??CFE??AGE， ?VCFE∽VAGE，
?CFAG?CEAE， 过A作AH?BC于点H，
QcosB?BH3AB?4， ?BH?34AB?34?6?92，
QAB?AC，
?BC?2BH?9，
QBE?4，
?CE?9?4?5，
QAG?AD?DG?3?1?2，
?CF2?54， ?CF?2.5；
②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，VCFE∽VAGE，?CFCEAG?AE， QAG?AD?DG?3?1?4，
?CF4?54，
6
?CF?5，
综上所述，CF的长为2.5或5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点集训
1．（2019·山东中考真题）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当??0?时，（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
AE? ；② 当BD时，
AE? BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB
（1）①【答案】
12555,②.（2）无变化；理由参见解析.（3）45，. 2257
【解析】
（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=AB2?BC2?(8?2)2?82?45， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE?452?25,BD=8÷2=4， ∴
AE255BD?4?2． ②如图1，
，
当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵ACAE?BCBD， ∴
AEACBD?455BC?8?2 （2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，AEBD的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB，
8
∴∠ECA=∠DCB， 又∵
ECDC?AC5BC?2， ∴△ECA∽△DCB，
∴
AEEC5BD?DC?2． （3）①如图3，
，
∵AC=45，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=AC2?CD2?(45)2?42?80?16?8 ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=45．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，
∵AC=45，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=AC2?CD2?(45)2?42?80?16?8， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
9
∴DE=
111AB??(8?2)??4=2， 222∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得
AE5， ?BD26125?∴BD=55．
2综上所述，BD的长为45或125． 52．（2019·江苏初三期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求
的值．
（1）见解析（2）见解析（3）【答案】【解析】
解：（1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90°
AC7?． AF410
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