∵D为BE的下半圆弧的中点， ∴
，
∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°， ∴∠OFD+∠D＝90°， ∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD， ∴∠CAF+∠∠OAF＝90°， 即∠CAO＝90°， ∴OA⊥CA， ∴AC是⊙O的切线；
（2）如图1，设半径为r， 则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，
∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2， ∴（8﹣r）2+r2＝（
）2，
解得，r1＝6，r2＝2（舍去）， ∴⊙O的半径为6；
（3）如图2，连接EH，
由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE， 又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△HAE（SAS）， ∴∠C＝∠EHA， ∵
，
∴∠EHA＝∠ABE， ∴∠C＝∠ABE， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB＝90°， ∴∠OAB+∠OAE＝90°， 又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°， ∴∠CAE＝∠OAB，
∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE， ∴AC＝AB，
∴△CAE≌△BAO（ASA）， ∴AE＝AO＝OE， ∴△AEO是等边三角形， ∴∠AEO＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°， ∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°， ∵CA＝AH，CA＝AB， ∴AH＝AB， 又AHB＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝BH＝AH， ∵GB，GA是⊙O的切线， ∴GB＝GA， 又∠ABG＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AB＝BG＝AG， ∴BH＝AH＝BG＝AG， ∴四边形AHBG是菱形．
8．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、
DE、AE．
（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；
（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交
AC于点F，求证：AF＝2DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．
（1）证明：如图1，连接CO，CE， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°， ∴∠COA＝2∠B＝90°， ∵
，
∴∠CAD＝∠CED，
∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°， 即∠AED﹣∠CAD＝45°；
（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M， 则∠CAN＝90°， ∵AC＝BC，AO＝BO， ∴CN⊥AB， ∴AB垂直平分CN， ∴AN＝AC， ∴∠NAB＝∠CAB， ∵AB垂直平分DE， ∴AD＝AE， ∴∠DAB＝∠EAB，
∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB， 即∠GAD＝∠NAE， ∵∠CAN＝∠CME＝90°， ∴AN∥EM， ∴∠NAE＝∠MEA， ∴∠GAD＝∠MEA，
又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA， ∴△ADG≌△EAM（AAS），
相关推荐：
loading