全国初中数学奥林匹克竞赛试卷

全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）

一、选择题（本大题共小题，每个小题分，满分分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置

题号 正确选项 得分 、已知三点（)(，)，（，）依次连接这三点，则 、构成等边三角形 、构成直角三角形 、构成锐角三角形 、三点在同一直线上 解：的解析式为

当 时，，即点在直线上，∴选

、边长为整数，周长为的三角形个数是（ ） 、个 、个 、个 、

解 设三进行三边为、、且≥≥，，?≥， 又＞，＜?＜，又≤≤，可列出（、、） 有：（，，）（，，）（，，）（，，）

（，，）（，，）（，，）（，，）共八组，选 、，则的个位数字是（ ） 、 、 、 、

解 的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，∴的各位数字为，选 、为正方形内一点，若：：，则∠的度数为（ ） 、° 、° 、° 、以上都不对 解：过作’⊥，且使’，连’ 易得△’≌△,则’,设，则， ’，连’,则△’中，∠’° 且’，在△’中有：’’, ∴∠’°，∴∠° 选

、在函数 （为常数）的图象上有三点：（，）（，）（，），则函数值，，的大小关系是（ ）

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、＜＜ 、＜＜ 、＜＜ 、＜＜

∵（）＜，∴在每个象限，随的增大而增大，因此＜ 又∵（，）在第二象限，而（，）在第四象限，∴＜ 选 、已知≠，且，则直线不经过（ ）

、第一象限 、第二象限 、第三象限 、第四象限

a?b?cp?2(a?b?c)?p(a?b?c)??解 a?c?ap????p?2

a?b?c?0?c?a?bp??因此，直线不可能通过第四象限，选

二、填空题（本大题有小题，每小题分，满分分）请将正确答案填在下表的指定位置

题号 正确答案 得分 、如果是方程的根，那么分式的值是 ； 解 根据题意，原式 ，∴填

、甲乙两个机器人同时按匀速进行米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差米，乙距离终点米；当甲到达终点时，乙距离终点米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比米多 ；

解 设跑道实际长为米，甲、乙两位机器人的速度分别为甲，乙，甲距离终点米时说花的时间为，乙·，于是

又设甲到达终点时所花的时间为’则甲·’，乙·’ 于是，因此可得方程，解得米， 因此，这条跑道比米多米，填

、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是 ； 解 有对称性可知个三角形中的面积为’, ’, 且即, 又即 , 又,∴ 填

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、有三个含有°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为 ；

解 设三角形甲的勾三角形乙的股三角形丙的弦，则三者的弦分别为，， 即所求比为：：，填：：

三、解答题（本大题共有小题，第小题分，第、小题各分，满分分）

、已知△是等边三角形，是延长线上一点，选择一点，使得△是等边三角形，如果是线段的中点，是线段的中点， 求证：△是等边三角形 证明：∵△≌△ ∴ ……分 又∵△≌△ ∴,∠∠ ……分 又∠∠∠ ∠∠∠ ∴∠∠°

∴△是等边三角形 ……分

、已知是大于的整数

求证：可以写出两个正整数的平方差 证明：（）· ……分

（）[()（）] ……分 [()][()] ……分

∵（），（）不仅大于，而且均能被整除 ∴()，()均为正整数 因此，命题得证 ……分

、已知正整数、满足条件：，（其中，是正整数，且＜）求和

解 ∵≥，≥，≤，即≤ 因此或

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当是，，若，则，与是正整数矛盾，∴≠，

若，则，与是正整数矛盾，∴≠ 若≥，则≤＜，与矛盾，∴＜ 综上所述，≠

当时有，若，则，与是正整数矛盾，∴≠ 若≥，则≤，与矛盾，∴＜ 因此＜＜，∴，

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