如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园． (1)、现有两种方案：
N C 1方案一：以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，设直线BC的斜率为k,把△ABC○
α M A B
的面积S表示为关于k的函数； 2方案二：设AB＝x，AC＝y，把△ABC的面积S表示为x、y关系式，并说明x、y满足的○关系。
(2)、任选一种方案，确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 解：（方法一）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系． 因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x． 设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3． 由P到直线AN的距离为5， 得
∣2x0＋y0∣
＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)， 5
N C y · P · A O
B x P 所以点P(1，3)． ???????????? 4分 显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)． 3
令y＝0得xB＝1－． ???????????? 6分
k
?y－3＝k(x－1)，6－2k 由?解得yC＝． ???????????? 8分
k＋2?y＝－2x
－k2＋6k－98k－91
设△ABC的面积为S，则S＝?xB?yC＝＝－1＋2． ????? 10分 22k＋2kk＋2k由S?＝
－2(4k＋3)(k－3)3＝0得k＝－或k＝3．
4(k2＋2k)233
当－2＜k＜－时，S?＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S?＞0，S单调递增．? 13分
443
所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．
4
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．????? 16分 （方法二）
－k2＋6k－98k－91
同方法一：S＝?xB?yC＝＝－1＋2． ????? 10分 22k＋2kk＋2k
13
t＋9
令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝．
8
t64t64
因此S＝－1＋＝－1＋2＝－1＋．??? 13分
225t＋92t＋9t＋34t＋225
34＋t＋()＋2×t88因为当t∈(－25，－9)时，t＋
225
∈(－34，－30]， t
225
当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋的最大值为4．从而S有最小值为15．
t答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．????? 16分 （方法三）
如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y． 因为P到AM，AN的距离分别为3，5， 即PE＝3，PF＝5．
由S△ABC＝S△ABP＋S△APC
111
＝?x?3＋?y?5 ＝(3x＋5y)． ① ?? 4分 222
因为tan?＝－2，所以sin?＝
2
． 5F A E
B M N C P · 12
所以S△ABC＝?x?y? ． ② ??????????????? 8分
25121
由①②可得?x?y? ＝(3x＋5y)．
252
即35x＋5y＝2xy． ③ ???????????????10分 因为35x＋5y≥2155xy，所以 2xy≥2155xy．
解得xy≥155． ???????????????13分 当且仅当35x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝35． 12
所以S△ABC＝?x?y? 有最小值15．
25
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．????? 16分 20、（本小题满分16分） 已知函数f（x）=lnx﹣x，
．
（1）求h（x）的最大值；
2
（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
32
（3）若关于x的方程f（x）﹣x+2ex﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．
14
解：（1）因为，所以，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分） 所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞）， 所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）
（2）因为xf（x）≥﹣2x+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
22
即xlnx﹣x≥﹣2x+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立， 亦即
对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
2
设，因为，
故?（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，?（x）min=?（3）=7+ln3， 所以a≤7+ln3． …（10分）
32
（3）因为方程f（x）﹣x+2ex﹣bx=0恰有一解， 即lnx﹣x﹣x+2ex﹣bx=0恰有一解，即由（1）知，h（x）在x=e时，
23
2
恰有一解，
，…（12分）
而函数k（x）=x﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
2
故x=e时，k（x）min=b+1﹣e， 故方程
2
=x﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e=，
22
即b=e+﹣1；
15
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