2020高考数学20天冲刺必刷
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 11.直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种：
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. (iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)取值范围0°≤θ≤90° (3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. ③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
12.二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法
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(ii)垂面法 (iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. ②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小. 13.空间的各种距离 点到平面的距离
(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=
1S·h，求出h即为所求.3这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 14.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. ②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之. ③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离. 15.平行平面的距离
(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法 ①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.
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16.异面直线的距离
(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. (2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形. ②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离 ③等体积法 ④最值法 ⑤射影法 ⑥公式法
直线与平面
【例题】
【例1】
正三棱锥P-ABC的高和底面边长都等于a，EF是PA与BC的
公垂线，E、F分别是垂足。（1）求证：侧棱PA?截面BEC（2）求截面BEC
P的面积；（3）求截面BEC与底面ABC所成二面角的大小 解：1）略
3a，PO=a， 3AECOBF2）易知F为BC的中点，在RtΔPAO中，AO=
所以PA=
23a，又易知PA⊥BE，
在等腰三角形PAB中，可求得BE=
13a， 434所以在直角三角形EFB中，求得EF=a，所以S?BEC?a 3）∠EFA=300
【例2】
38已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别
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是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.
(1)求证：AB1⊥C1D1； (2)求证：AB1⊥面A1CD；
(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.
解：(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1， 又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA， 而AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1. (2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD1
CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得
CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，
又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.
(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=
∴∠OCA=
【例3】
AO1?， AC2?. 6两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈
AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB. ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ
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