2020高考数学20天冲刺必刷
SAD，应该设法证明CE平行于面SAD内的一条直线，充分利用中点（中位线）的
性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。
（1）延长BC、AD交于点F。 在?FAB中，∠BAD??ADC??2，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，
CD//AB，所以，?CDF∽?BAF。又AB?2a，CD?a，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。
又因为E为SB的中点，所以，EC为?SBC的中位线，所以，EC//SF。 又EC?面SAD，SF?面SAD，所以，CE//平面SAD。
（2）因为：SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以，AB?SA。又AB
?AF，AF?SA?A，所以，AB?面SAF。
过A作AH?SF于H，连BH，则BH?SF，所以，?BHA就是平面SBC与
平面SAD所成的二面角的平面角。
在Rt?BHA中，要使?BHA=45?，需且只需AH=AB=2a。
SF?AH?此时，在?SAF中，SA?AFSA2??4a?2?2a4a
，所以，SA?43a。 3在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则
AD?DC?SAS?ACD?SAAD?SA2h=???SD?CDS?SCDSD2AD?SASA2?AD2?14a 4因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即
h14?。 28【例8】 如图，在三棱柱ABC—A?B?C?中，四边形A?ABB?是菱形,四边形
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BCC?B?是矩形,C?B??AB。（1）求证：平面CA?B?A?AB；
（2）若C?B??3，AB?4，?ABB??60?，
求AC＇与平面BCC＇所成角的大小（用反三角函数表示）
解：（1）证明：
∵在三棱柱ABC—A?B?C?中，C?B?∥CB ∴CB⊥AB；又∵CB⊥BB?；AB?BB??B
∴CB?平面A?AB
∵CB?平面CA?B
∴平面CA?B?平面A?AB（2）解：由C?B??平面A?AB，得平面A?AB?平面BCC? 过点A作AH⊥平面BCC?，H为垂足， 则H在BB?上，
连结C?H，则?AC?H为AC?与平面BCC?所成的角 连接AB?，由四边形A?ABB?是菱形，?ABB??60? 可知?ABB?为等边三角形，而H为BB?中点，又AB??4
AH?23，于是在Rt?C?B?A中，AC??42?32?5，而在Rt?AHC?中，sin?AC?H?235235
??AC?H?arcsin因此，直线AC?与平面BCC?所成的角是arcsin23。 5 14
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【例9】 在长方体ABCD—A?B?C?D?中，AB=a，AD?b，AA??c；
?a?b?c?，由顶点A沿着长方体的表面到顶点C?的最短距离是多少？
解：如图所示
??c2??a?b?2AC1?a2?b2?c2?2ab??AC2?b?c?2?a2222
?a?b?c?2bc??AC3?a?c?2?b2?a2?b2?c2?2ac?a?b?c?2ab?2ac?2a(b?c)?02ac?2bc?2c(a?b)?0?2ab?2ac?2bc??a2?b2?c2?2bc是所求最短距离故AC2
【直线与平面练习】
一、选择题
1．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1
到截面AB1D1的距离是()
A.
8 3
D.
B.
3 8 C.
4 33 42．在直二面角α—l—β中，直线a?α,直线b?β,a、b与l斜交，则() A.a不和b垂直，但可能a∥b 能a∥b
C.a不和b垂直，a也不和b平行 a⊥b
二、填空题
3．设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z
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B.a可能和b垂直，也可
D.a不和b平行，但可能
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?X∥Y”为真命题的是_________(填序号).
①X、Y、Z是直线②X、Y是直线，Z是平面③Z是直线，X、Y是平面④X、Y、Z是平面
4．设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.
①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行 三、解答题
5．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证：CD⊥PD; (2)求证：EF∥平面PAD;
(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
6．如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.
7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的
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