∴BC＝OB， ∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°， ∴BC＝∴OB＝4
AC＝4，
． ，
即⊙O的半径为4
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2019?朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH＝
，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线． （2）连接AH，求出DB＝2DH＝2
2
2
，在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD﹣（AD﹣BF）
22
＝DB﹣BF，解方程可求出AD的长．则OA可求出． 【解答】（1）证明：如图1，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形，
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∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD＝∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∵AD＝AB，DH＝∴DB＝2DH＝2
， ，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
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∵DF＝AD﹣AF，DF＝BD﹣BF， ∴AD﹣AF＝DB﹣BF，
∴AD﹣（AD﹣BF）＝DB﹣BF， ∴
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
3．（2019?盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F． （1）求证：EF与⊙O相切． （2）若EF＝2
，AC＝4，求扇形OAC的面积．
，
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
【分析】（1）连接OE，由条件知∠D＝∠OED，证出∠OED＝∠G，可得OE∥AG，证明∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，即OE⊥EF，则EF与⊙O相切．
（2）连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，求出CH，OH的长，再求出OC的长，得出△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，可求出扇形OAC的面积． 【解答】（1）证明：如图1，连接OE， ∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，
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∴∠D＝∠G， ∴∠OED＝∠G， ∴OE∥AG， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝90°， ∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°， ∴OE⊥EF， ∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H， ∵AC＝4，
∴CH＝，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴
，
在Rt△OHC中， OC＝
＝
＝4，
∵OA＝AC＝OC＝4， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴S扇形OAC＝
＝
．
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【点评】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握圆的有关性质．
4．（2019?丹东）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且（1）求证： ①AO＝AG． ②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
＝
，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．
【分析】（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；
②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出CE＝3
，即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：①如图1，连接OE， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OEB， ∴AC∥OE， ∴∠GOE＝∠AGO， ∵
，
∴∠AOG＝∠GOE， ∴∠AOG＝∠AGO，
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