版选修 2019-2020 年高中数学 1.5.2 汽车行驶的路程学案 新人教 A
2-2
1. 了解求汽车变速行驶的路程的方法．
2. 了解“以不变代变”和逼近的思想，借助物体运动的实际背景体会定积分的基本思想．
基础 梳理 1. 如果物体按规律 s＝s(t)运动，则物体在时刻 t0 的瞬时速度为 s′(t0)． 想一想：如果物体按规律 s＝2t2 运动，则物体在时刻 t＝2 的瞬时
速度为 8．
2. 汽车做匀速直线运动时，速度 v 关于时间 t 的关系式为 v＝v0，物体经过时间 t 所行驶的路程为 s＝v0t．
想一想：物体以 v＝20 km/h 的速度做匀速直线运动，经过 3 小时物体经过的路程为60_km．
3. 当物体做匀加速直线运动时，速度 v 关于时间 t 的关系式为 v＝v0＋kt，此时在 0＜t＜
ka2 v0＋（v0＋ka） a． a 时段中物体经过的路程为 s＝v0a＋ ＝ 2 2
想一想：(1)物体做匀加速直线运动时，速度 v 关于时间 t 的关系式为 v＝2＋t，此时在 0＜t＜6 时段中物体经过的路程为 ．
(2)求物体做变速直线运动的路程的具体步骤有哪些？ 答 案 ：(1)30 (2)①分割；②近似代替；③求和；④取极限． 自测 自评 1. 一物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在 t＝0 到 t＝1 这段时间内所走的路程为(B)
1
A. 3
1 B. 2
C．1
3 D. 2
1
解析：曲线 v(t)＝t 与直线 t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积 S＝ ，即为这段时间
2 内物体所走的路程．
2. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙
车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是(A)
A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面 B. t1 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 t0 时刻，两车的位置相同 D. t0 时刻后，乙车在甲车前面
解析：由图象可知，曲线 v 甲比 v 乙在 0～t0、0～t1 与 x 轴所围成图形面积大，则在 t0、t1 时刻，甲车均在乙车前面，故选 A.
3. 汽车以速度 v 做匀速直线运动是地，经过时间 t 所行驶的路程 s＝vt，如果汽车做匀速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在 1≤t≤2 这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是
．
解析：围成该图形的直线和曲线分别是 t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2. 答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2
基础 巩固 1. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的
行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是(A)
解析：汽车加速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越多，曲线呈加速上升状态， 曲线的切线的斜率也越来越大；汽车减速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越少， 曲线呈减速下降状态，曲线的切线的斜率也越来越小．
点评：加速行驶时速度越来越大，曲线的切线的斜率也越来越大，减速行驶时速度越来越小，曲线的切线的斜率也越来越小．常用此法来判断物体运动的路程—时间曲线的变化情况．
2. 如果物体按规律 s＝tn 运动，在时刻 t＝1 时的瞬时速度为 3，则 n 为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：s′(t)＝ntn－1，t＝1 时，n＝3.故选 C.
3. 汽车以v＝(3t＋2) m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是(C)
A．7 m C．6.5 m
B．6.8 m D．6.3 m
1
解析：将[1，2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt＝ ，v(ti)＝v
n
i－1 i－1 3
n i－1)＋5. (1＋ n )＝3(1＋ n )＋2＝ (31
所以 s＝∑ [（i－1）＋5]·
n n
31＝{[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＋5n}· n n
n
n
i＝1
3 n（n－1）
2
3
＝ n2
＋5＝ 1－ ＋5，
2n( )
1
3
所以 s＝sn＝ ＋5＝6.5(m)．
2
4. 已知某物体运动的速度 v＝2t－1，t∈[0，10]，若把区间 10 等分，取每个小区间
右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为 ．
解析：由题意知，物体运动的路程即为这 10 个小矩形的面积和，即 S＝1＋3＋5＋…＋19 1＋19 ＝ ×10＝100.
2
答案：100
能力 提升 5. 汽车以 10 米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 米/秒 刹车，
2
若把刹车时间 5 等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(D)
A．80 米
B．60 米
C．40 米
D．30 米
解析：由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令 v(t)＝0，得 t＝5，即 t＝5 秒时，汽车将停车．
将区间[0，5]5 等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为 S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×
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