【精品】几何必会模型：8字模型与飞镖模型带答案

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8字模型与飞镖模型

模型1：角的8字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC． 结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

ADOBC

模型分析 证法一：

∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二：

∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．

模型实例

观察下列图形，计算角度：

（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；

AEBFC图①DECAABAEB1O2CDDBCF12GED图④

图图③

解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．

∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．

解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E． ∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．

AEFE图②DCBAOFE123P图⑤BAOBQCDF12图⑥EDC

（2）解法一：

如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．

∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③

由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：

1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；

ABOEBCCD图①图DAOE

解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝ ．