2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

答案速查： 一、选择题 （1） B （2） D （3） C （4） B （5） D （6） D （7） A （8） B （9） C （10） A 二、填空题 （11） 0 三、解答题

（17）曲线y?y(x)在点（1，1）附近是凸的. （18）

（12） （13） （14） （15） 1 （16） (?1)n2nn! 3n?12(?y'x'f1?f2) xyx 1?lnx3 41?42ln(2?1) 3（19）略

1?1(?1)nn（20）f(x)???(n?1?n?1)(x?1),x?(?1,3)

5n?032（21）a?1，此时所有公共解为x?k[1,0,?1]，其中k为任意常数；a?2，此时唯一公共解为x?[0,1,?1]

（22）（Ⅰ）B的特征值为-2,1,1；B的属于特征值-2的全部特征向量为k1?1（k1为非零的任意常数），B的属于特征值1的全部特征向量为k2?2?k3?3（k2,k3为不全为零的任意常数）

TT?01?1???（Ⅱ）B??101?

??110????z(2?z),0?z?1,7?2（23）（Ⅰ）P?X?2Y??；（Ⅱ）fZ(z)??(2?z),1?z?2,

24?0,其他??=2X?（24）（Ⅰ）?122;（Ⅱ）4(X)不是?的无偏估计量 2一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B） 【解析】利用当x?0时的等价无穷小关系ln(1?x):x，即知当x?0时

?ln(1?x):x.故选B..

（2）【答案】 (D)

【解析】方法1:论证法，由limf(x)存在及f(x)在x?0处连续，所以

x?0xf(x)f(0)?limf(x)?lim(x)?0,（A）正确；

x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)由于lim存在，所以f'(0)存在.（C）也正确； ?limx?0x?0x?0x由f(x)在x?0处连续，所以f(?x)在x?0处连续，从而f(x)?f(?x)在x?0处

连续，将它看成（A）中的f(x)，从而推知f(0)?f(?0)?0,即有2f(0)?0,f(0)?0.所以（B）正确，此题选择（D）.

方法2：举例法，举例说明（D）不正确.例如取f(x)?x，有

x??xf(x)?f(?x)lim?lim?0 x?0x?0x?0x而f'(0)并不存在. （D）不正确，选（D）. （3）【答案】（C ）

【解析】由题给条件知，f(x)为x的奇函数，故F(x)为x的偶函数，所以F(?3)?F(3).而

F(3)??f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt?002323?2??8?3?,8F(2)??f(t)dt?02?2

,所以F(?3) ?3F(2)，选择C 4（4）【答案】（B）

【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D，交换为先x后y

??dx?2?1sinxf(x,y)dy??dy?01???arcsinyf(x,y)dx， 所以选择(B).

（5）【答案】（D） 【解析】需求弹性?Q'(P)?22PP?P?. Q(P)160?2P160?2P由题知，它等于1，解之，P?40.所以选(D)

（6）【答案】（D） 【解析】limy?lim?x?0?1??ln(1?ex)???,所以x?0是一条垂直渐近线；

x?0x???1?limy?lim??ln(1?ex)??0,所以y?0是沿x???方向的一条水平渐近线； x???x???x??exx?1ln(1?ex)?yln(1?ex)1?e洛lim?1, 又 lim?lim?2???xlimx???xx???x???x???xxx???1?lim?y?x??lim??ln(1?ex)?x??lim?ln(1?ex)?x? x???x???x??x???1?ex?limln(x)=limln(e?x?1)?0, x???x???e所以y?x也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D） （7）【答案】(A)

【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数k1,k2,k3，使得k1?1?k2?2?k3?3?0成立.则称?1,?2,?3线性相关.因?1??2??2??3??3??1?0， 故?1??2，?2??3，?3??1线性相关，所以选择（A）. （8）【答案】（B）

??2【解析】?E?A?111111111101010

11??21??1??2??0??3??2??2??3????3???0

因为A的特征值是3，3，0，B的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A与

B有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A与B合同，应选（B）.

（9）【答案】(C)

【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为

1C3p(1?p)2.再加上第4次是成功的，其概率为p.根据独立性，第4次射击为第二次命中

2目标的概率为

1C3p(1?p)2gp?3p2(1?p)2.所以应选（C）.

（10）【答案】(A)

【解析】由于二维正态的(X,Y)中X与Y不相关，故X与Y独立，且

f(x,y)?fX(x)fY(y).根据条件概率密度的定义，当在Y?y条件下，如果fY(y)?0,则

fXY(xy)?f(x,y) fY(y)?fX(x)fY(y)?fX(x).现fY(y)显然不为0，因此fXY(xy)?fX(x). 应选(A).

fY(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】 0

【解析】方法1：由洛必达法则，

x3?x2?13x2?2x6x?2 lim?lim?lim2x???2x?x3x???2xln2?3x2x???x2?ln2??6x?lim而(sinx?cosx)是有界变量，所以

62?ln2??6x3x????0,

x3?x2?1limx(sinx?cosx)?0. x??2?x3x3?x2?11?x?1?x?3(sinx?cosx)?lim(sinx?cosx) 方法2：limx???2x?x3x???2xx?3?12x2xln22x(ln2)2?lim而 lim2x?lim3?lim

x???x???xx???3x2x???6xx?32x(ln2)3?lim???， x???6x3?x2?1(sinx?cosx)?0. 所以 limx??2x?x3

(?1)n2nn!（12）【答案】

3n?1【解析】y?1?1?2?3??2x?3?,y'?(?1)2?2x?3?,y''?(?1)(?2)22?2x?3?,L,

2x?3(n)由数学归纳法知y?(?1)2n!?2x?3?nn?n?1(?1)n2nn! ,y(0)?n?13(n)（13）【答案】2(?y'x'f1?f2) xy【解析】

?z1?y??f1'???2??f2'?;?xy?x?x?x??z1?f1'??f2'???2?, ?yx?y??z?zyx?y?2(?f1'?f2') ?x?yxy（14）【答案】x 1?lnxdydu?u?x,原方程化为 dxdxdu12dudxu?x?u?u3, 即 3??,

dx2ux1积分，得 2?lnx?C

u【解析】典型类型按标准解法.命y?ux,有

x2化为y，得 y?

lnx?C2解出 y?x

C?lnxx.

1?lnx再以(1,1)代入，C?1,所以得特解y?（15）【答案】 1 【解析】

?0?02A???0??0100??0??010??0001??0??000??0100??0??010??0???0001??000??0010??001?000??000?00?1??000?

000??000?

?0?032?A?A?A??0??0显然rA010??0??001??0000??0??000??0100??0??010??0?001??0??000??0???1.

3 (16) 【答案】

3 41。在坐标轴上画出2【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数X,Y，X?Y?