?1?1???1?D的面积32?图形，所求概率为P?X?Y???????.其中D是由
2?单位正方形面积14?1y?x??，x?1，y?1以及x、y轴围成的图形.
2三、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）【解析】对方程两边求导得ylny?2y?1?0?y?'''21
2?lny1'(y')2''y?0?y??再两边求导得y(2?lny)?y yy(2?lny)''''2(y)1x?1求在（1，1）点的值y''x?1?????0
1(2?ln1)8所以y?y(x)在点（1，1）处是凸的.
（18）【解析】由区域对称性和被积函数的奇偶性有
??f(x,y)d?D?4??f(x,y)d?
D1其中D1为D在第一象限的部分，而
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?
D1D11D12其中
D11??(x,y)0?y?1?x,0?x?1?D12??(x,y)1?x?y?2,0?x,y?0?
因为
??D11f(x,y)d????x2d??D111 121x2?y2d??2ln(22?3) 2D12??f(x,y)d????D12所以原式?
1?42ln(2?1). 3（19）【解析】（Ⅰ）因f(x)与g(x)在(a,b)内存在相等的最大值，若两个函数能够在同一点c?(a,b)取得最大值，则f(c)?g(c)，取c作为?即可.否则两个函数必在两个不同的点
x?c与x?d处分别取得最大值.为确定起见，设f(c)是f(x)在[a,b]上的最大值，g(d)是g(x)在[a,b]上的最大值，且a?c?d?b，不难得出f(c)?g(c)且f(d)?g(d).
设F(x)?f(x)?g(x)，则F(x)在[a,b]上连续，且F(c)?0?F(d)成立.由闭区间上连续函数取中间值性质知存在??(c,d)?(a,b)，使F(?)?0，即f(?)?g(?)
当f(d)是f(x)在[a,b]上的最大值且g(c)是g(x)在[a,b]上的最大值时可类似证明存在??(c,d)?(a,b)使得F(?)?0，即f(?)?g(?)
（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x).由题设与（Ⅰ）的结论知，F(x)在[a,b]上连续，(a,b)内二次可导，且存在??(a,b)使F(a)?F(?)?F(b)?0.分别在[a,?]与[?,b]上对
F(x)应用罗尔定理可得，存在??(a,?)，??(?,b)使F?(?)?F?(?)?0.由于F?(x)在[?,?]上满足罗尔定理的全部条件，按罗尔定理知存在??(?,?)?(a,b)，使
F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)
（20）【解析】f(x)?1111?(?)
(x?4)(x?1)5x?1?3x?1?211111?x?1n??()???(),记 f1(x)?x?15x?4151?(15n?03)311111?x?1nf2(x)??()??(?1)n(),5x?1101?(x?1)10n?022则
x?1?3
x?1?2
1?x?1n1?1?1(?1)nnx?1nf(x)???()??(?1)()???(n?1?n?1)(x?1)n,x?(?1,3)
15n?0310n?025n?032（21）【解析】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立
?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123?2x?4x?ax3?02?1?x?2x?x?a?123?1并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换
(3)
?1110??1???12a0???0(Ab)???14a20??0??121a?1???????0110??1?1a?10??0??23a?10??0??10a?1???01??10a?1? ?0a?11?a?00(a?1)(a?2)?10?x1?x2?x3?0当a?1时，联立方程组（3）的同解方程组为?
x?0?2解得两方程组的公共解为k[1,0,?1]，其中k是任意常数.
T?x1?x2?x3?0?当a?2时, 联立方程组（3）的同解方程组为?x2?1
?x??1?3解得两方程的公共解为[0,1,?1].
方法2：将方程组（1）的系数矩阵A作初等行变换
T?111??111??111??????01? A??12a???01a?1a?1????22??03a?1????00(a?1)(a?2)???14a???当a?1时，方程组（1）的同解方程组为?T?x1?x2?x3?0
?x2?0T解得（1）的通解为k[1,0,?1]，其中k是任意常数.将通解k[1,0,?1]代入方程（2） 、（2）的公共解. k?0?(?k)?0.对任意的k成立，故当a?1时，k[1,0,?1]T是（1）
当a?2时，方程组（1）的同解方程组为?T?x1?x2?x3?0
?x2?x3?0T解得（1）的通解为?[0,1,?1],其中?是任意常数. 将通解?[0,1,?1]代入方程（2）
T（1）和（2）的公共解为[0,1,?1]. 2????1.得??1，故当a?2时，
nn（22）【解析】（Ⅰ）可以很容易验证A?1??1?1(n?1,2,3...)，于是 5353 B?1?(A?4A?E)?1?(?1?4?1?1)?1??2?1
于是?1是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，?(B)??(A)?4?(A)?1所
53以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得?1为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为(x1,x2,x3)，所以有方程如下：
Tx1?x2?x3?0
TT于是求得B的属于1的特征向量为?2?(?1,0,1),?3?(1,1,0)
?1?11????1（Ⅱ）令矩阵P???1,?2,?3???101，则PBP?diag(?2,1,1)，所以
????110??
1?1??33?1?11???diag(?2,1,1)??11B?P?diag(?2,1,1)?P?1???101???33????110?2?1?3?3
（23）（本题满分11分） 【解析】（Ⅰ）P?X?2Y??那部分区域；
求此二重积分可得P?X?2Y??1?3??01?1??2????101?? 3????110??1??3????(2?x?y)dxdy，其中D为0?x?1,0?y?1中x?2y的
D1527 ?(x?x)dx?dx(2?x?y)dy?08?0?2411x20（Ⅱ）FZ(z)?P?Z?z??P?X?Y?z? 当z?0时，FZ(z)?0； 当z?2时，FZ(z)?1；
132(2?x?y)dy??z?z ?003111352 当1?z?2时，FZ(z)?1??dx?(2?x?y)dy?z?2z?4z?
z?1z?x33?2z?z2,0?z?1?21?z?2 所以 fZ(z)??z?4z?4,?0,其他? 当0?z?1时，FZ(z)?zdx?z?x
（24）（本题满分11分） 【解析】（Ⅰ）记EX??，则
??EX??解出??2???01xx11dx??dx???
?2(1??)2?421$?2X?1； ，因此参数?的矩估计量为?2222（Ⅱ）只须验证E(4X)是否为?即可，而
E(4X)?4E(X)?4(DX?(EX))?4(DX?(EX))，而 EX?2221n2111??，EX2?(1???2?2)， 4265?1DX?EX2?(EX)2????2，
48121225?3n3n?13n?12于是E(4X)???????2
12n3n3n2 因此4X不是为?的无偏估计量.
2
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