2019高考数学 成绩不优秀 总计 （Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为
X，求X的分布列和期望．
n(ad?bc)2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2临界值表
P(K2?k0) k0 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828
20.（本小题满分12分）
x2y22 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦点分别为F1,F2，点P是椭圆C上的点，
ab2?PF1F2面积的最大值是2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于M,N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若
OM?ON?OD,判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明
理由．
21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x(1?alnx)，a?R．
（Ⅰ）若f(x)在(0,1]上存在极大值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：
?lni?2(i?1nn?1)2，其中n?N?,n?2．
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请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔
在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线C的极
2坐标方程为??2?cos??4?sin??4，直线l1的极坐标方程为?(cos??sin?)?3．
（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l2过点P(?1,0)与曲线C交于不同两点A,B，AB的中点为M，l1与l2的交点为
N，求|PM|?|PN|．
23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若关于x的不等式2x?2?2x?1?t?0在实数范围内有解．
（Ⅰ）求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若实数t的最大值为a，且正实数m,n,p满足m?2n?3p?a，求证：12??3. m?pn?p2019高考数学
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理科数学参考答案
一、选择题： 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D 二、填空题： 13．672 14.三、解答题：
15 15. 37 16．5? 417.解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q(q?0)，由题意，得
a5?a6?6a4?q?q2?6 解得q?2或q??3（舍）…………………2分
n?1n?1又a3?4?a1?1所以 an?a1q?2 ………………4分
bn?log2an?log2an?1?n?1?n?2n?1 ………………6分
(Ⅱ)Sn?n(b1?bn)n[1?(2n?1)]??n2．……………7分 221?1?11???? ，…………………9分
2?2n?12n?1?∴cn?∴
4n2?1Tn?1??1??11??1???????2???3??35?1??n?1???????2n?12n?1??2n?1 …………………12分 18.解：（Ⅰ）BC?DC.
四边形ABCD是正方形，∴
∵平面PCD?平面ABCD，∴BC?平面?CDPCD.
∵DE?平面PDC，∴BC?DE.
∵AD?PD?DC，点E为线段PC的中点，∴PC?DE.
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又∵PCCB?C，∴DE?平面PBC.
又∵DE?平面DEF，∴平面DEF?平面PBC.………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC?平面PCD，∵AD//BC，∴AD?平面PCD. 在平面PCD内过D作DG?DC交PC于点G，
∴AD?DG，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，
以DA，DC，DG所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系D?xyz. 因为AD?PD?1，?PCD?120，∴PC?3.
?13?D0,0,0C0,1,0∵AD?平面PCD， 则? ?，??，P??0,?2,2?????13?又E为PC的中点，E?0,,，………………7分
?44?????13?假设在线段AB上存在这样的点F，使得tan??23,设F?1,m,0?(m?0)，DE???0,4,4??，
??DF??1,m,0?，
??n1?DE?0,设平面DEF的法向量为n1?(x,y,z)， 则?
??n1?DF?0,?x?my?0?1)………………9∴?1，令y?3，则z??1,?x??3m，则n1?(?3m,3,?3z?0?y??44分
AD?平面PCD，?平面PCD的一个法向量n2?(1,0,0),tan??23,则cos??13 13∴cos??cos?n1,n2???3m3m2?3?1?13. 13m?0，解得m?AF11，∴?………………12分 3FB219.解：（1）补充的2?2列联表如下表：
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