吉林省四平四中2019届高三数学第二次模拟考试题理

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注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．[2019·肇庆统测]若复数z满足z?1?2i1?i，则z?（ ） A．

22 B．

32 D．

12 C．102 2．[2019·武汉六中]设集合A??x?N5?4x?x2?0?，集合B??0,2?，则AIB?（ ） A．?0,1,2?

B．?0,2?

C．?

D．?1,2?

3．[2019·海淀八模]如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）

A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关 B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大

C．2008年以来我国实际利用外资同比增速最大 D．2010年以来我国实际利用外资同比增速最大

4．[2019·湘潭一模]已知数列?an?是等比数列，其前n项和为Sn，S2?3aa3?a42，则a?a?（ ） 12A．

14 B．

12 C．2 D．4

5．[2019·河南名校联考]已知函数f?x??x3?ax2?bx?c的图象的对称中心为?0,1?，且f?x?的图象在点?1,f?1??处的切线过点?2,7?，则b?（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

6．[2019·肇庆统测]已知△ABC的边BC上有一点D满足uBDuur?3uDCuur，则uADuur可表示为（ ） A．uADuur?1uuur3uuu4AB?r4AC

B．uADuur?3u4ABuur?1u4ACuur

C．uADuur?2uuur1uuur3AB?3AC

D．uADuur?4uuur1uu5AB?ur5AC

7．[2019·遵义联考]如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）

A．32 B．4 C．33 D．5

8．[2019·滨州期末]已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是PF直线与抛物线C的一个交点，若uPFuur?3uFQuur，则QF?（ ）

A．3

B．8

C．4或833

D．3或4

9．[2019·宁德期末]已知函数f?x????x3?2x,x?0，若函数g?x??f?x??x??lnx,x?0?a有3个零点，则实

数a的取值范围是（ ） A．?0,2?

B．?0,1?

C．???,2?

D．???,1?

10．[2019·衡水中学]如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

1

A．

1π B．

12π C．

12?1π D．114?2π

[2019·湖北联考]椭圆?：x2y2x2y211．a2?b2?1?a?b?0?与双曲线?：m2?n2?1?m?0,n?0?焦点相

同，F为左焦点，曲线?与?在第一象限、第三象限的交点分别为A、B，且?AFB?2π3，则当这

两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）

A．x?2y?0 B．2x?y?0 C．x?2y?0 D．2x?y?0

12．[2019·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为（ ）

A．22 B．1 C．2 D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

?x?y?3?013．[2019·驻马店期中]设变量x，y满足约束条件：??x?y?0，则目标函数z?x?2y的最大

??y?0值为_____．

14．[2019·呼和浩特调研]已知数列?an?满足a1?1，an?1?2n?an，则数列?an?的通项公式an?____．

15．[2019·长沙一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法．

16．[2019·黄山八校联考]不等式?acos2x?3?sinx??3对?x?R恒成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）[2019·镇江期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB?bcosC?3acosB．

（1）求cosB的值；

（2）若uCAuru?uCBuur?2，△ABC的面积为22，求边b．

18．（12分）[2019·惠州调研]在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD?底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，?ADC?90?，BC?CD?1，AD?2，PA?PD?3，E为AD的中点，F为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BEF； （2）求二面角F?BE?A的余弦值．

2

19．（12分）[2019·朝阳期末]某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如下表： 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 1 A 2420 10 B 2500 2 C 2580 11 A 2460 3 C 2470 12 A 2460 4 C 2540 13 A 2500 5 A 2430 14 B 2500 6 C 2400 15 B 2450 7 A 2440 16 B 2460 8 B 2500 17 A 2460 9 A 2440 18 A 2540 （1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A，B，C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．

20．（12分）[2019·德州期末]已知椭圆C:x2y2?3?a2?b2?1?a?b?0?，点M???1,2??在椭圆C上，椭圆C的离心率是

12． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点A为椭圆长轴的左端点，P，Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP，AQ斜率分别为k，若k11，k21k2??4，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过

定点，请说明理由．

3

21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数f?x??aex?xlnx?1． （1）当a??1e时，证明f?x?在?0,???单调递减；

（2）当a??1e时，讨论f?x?的零点个数．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

[2019·哈尔滨三中]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?kx?2，?k?R?．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos??6?sin??8?0． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

[2019·揭阳毕业]已知函数f?x??x?2?ax?2． （1）当a?2时，求不等式f?x??2的解集；

（2）当x???2,2?时，不等式f?x??x恒成立，求a的取值范围．

4

5

2019届高三第二次模拟考试卷

理科数学答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的． 1．【答案】C

【解析】依题意z?1?2i1?i??1?2i??1?i?22?1?i??1?i??32?12i，∴z???3??2??1?10????2???2，故选C． 2．【答案】A

【解析】集合A??x?N5?4x?x2?0???x?N?1?x?5???0,1,2,3,4?，集合B??0,2?，

则AIB??0,1,2?．故选A． 3．【答案】C

【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的， 因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误； 我国实际利用外资规模2012年比2011年少，∴选项B错误；

从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项C正确； 2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项D错误；故选C． 4．【答案】A

【解析】由题意得，Sa11a?a412?2?a1?3a2，a2?2a31，公比q?2，则aa?q2?，故选A．

1?245．【答案】A

【解析】∵函数f?x??x3?ax2?bx?c的图象的对称中心为?0,1?，∴f??x??f?x??2， ∴???f??1??f?1??2，即???a?c?1?a?0?f??2??f?2??2?4a?c?1，得??c?1，

∴f?x??x3?bx?1，f??x??3x2?b，

又∵f?x?的图象在点?1,f?1??处的切线过点?2,7?， ∴f??1??f?1??71?2，即3?b?b?5?1，解得b?1，故选A． 6．【答案】A

【解析】画出图像如下图所示，

故uADuur?uABuur?uBDuur?uABuur?3uuuruuur3uuuruuur1ur3uuur4BC?AB?4?AC?AB??4ABuu?4AC，故选A．

7．【答案】C

【解析】∵根据三视图得出：几何体为下图AD，AB，AG相互垂直，

面AEFG?面ABCDE，BC∥AE，AB?AD?AG?3，DE?1，

根据几何体的性质得出：AC?32，GC?32??32?2?27?33，GE?32?42?5，BG?32，AE?4，EF?10，CE?10，

故最长的为GC?33．故选C． 8．【答案】B

【解析】设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得QF?d， ∵uPFuur?3uFQuur，∴PQ?4d，xQ?1，

16d2?d2∴直线PF的斜率为?d??15， ∵抛物线方程为y2?4x，∴F?1,0?，准线l:x??1， ∴直线PF的方程为y??15?x?1?，与y2?4x联立可得x5Q?3或x3Q?5（舍去）， ∴uQFuur?d?1?583?3，故选B．

9．【答案】A

【解析】绘制出f?x?的图像，f?x??x?a有3个零点，

令h?x??x?a与f?x?有三个交点，则h?x?介于1号和2号之间，

2号过原点，则a?0，

1号与f?x?相切，则f??x??3x2?2?1，x??1，y?1，代入h?x?中，计算出a?2， ∴a的范围为?0,2?，故选A． 10．【答案】C

【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形，

设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r，

22∴正方形的EFMN的面积为r2，阴影部分的面积为r2?2??r2?π?r????πr2， ??????r?2??2πr2?r2∴阴影部分占总面积的比值为211πr2?2?π，

即在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是12?1π，故选C．

11．【答案】C

【解析】设双曲线的右焦点为F1，由题意点A与点B关于原点对称，因此AF?BF1， 又?AFB?2ππ3，∴?FAF1?3； 由椭圆与双曲线定义可得AF?AF1?2a，AF?AF1?2m， ∴AF?a?m，AF1?a?m，

根据余弦定理可得FF221?AF?AF21?2AFAF1cos?FAF1， 即4c2??a?m?2??a?m?2?2?a?m??a?m?cosπ3，

化简得4c2?3m2?a2?23m2?a2?23ma，

∴离心率乘积为ca?cm?c23am?2，当且仅当3m2?a2（1）时，去等号; 由a2?b2?m2?n2，∴4c2?3m2?b2?m2?n2，∴b2?3n2（2）， 再将（1）（2）代入a2?b2?m2?n2可得m2?2n2，

∴双曲线的渐近线方程为x?2y?0或x?2y?0，故选C． 12．【答案】C

【解析】延展平面EFG，可得截面EFGHQR，其中H、Q、R分别是所在棱的中点，

直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，

由中位线定理可得AC∥EF，EF在平面EFGHQR内，AC在平面EFGHQR外，

∴AC∥平面EFGHQR，

∵D1P与AC在平面D1AC内相交， ∴平面D1AC∥平面EFGHQR，

∴P在AC上时，直线D1P与平面EFG不存在公共点， ∵BO与AC垂直，∴P与O重合时BP最小，

此时，三角形PBB11的面积最小，最小值为2?2?2?2，

故选C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】

92 ?x?y?3?0【解析】作出变量x，y满足约束条件：??x?y?0可行域如图，

??y?0

由z?x?2y知y??1z2x?2，

∴动直线y??12x?zz2的纵截距2取得最大值时，目标函数取得最大值．

由??x?y?3?0得?x?y?0A??33??2,2??．

结合可行域可知当动直线经过点A??3?2,3?2??时，目标函数取得最大值z?32?2?32?92．故答案为92．

14．【答案】2n?1

【解析】∵a1?1，an?1?2n?an，

∴a1?a312?21，a3?22?a2，a4?2?a3，…，an?2n﹣?an﹣1，

等式两边分别累加得：a11n?a1?2?22?L?2n﹣?2n?1， 故答案为2n?1． 15．【答案】16

【解析】总体种数有C336?20，A，B都不选的个数有C4?4，∴一共有16种．

16．【答案】?3????2,12??

【解析】令sinx?t，?1?t?1，

则原函数化为g?t????at2?a?3?t，即g?t???at3??a?3?t， 由?at3??a?3?t??3，?at?t2?1??3?t?1??0，

?t?1???at?t?1??3??0及t?1?0知，?at?t?1??3?0，即a?t2?t???3，（1） 当t?0，?1时（1）总成立，

对0?t?1，0?t2?t?2，a????3?3?t2?t????max2；

对?1?t?0，?1??34?t2?t?0，a????t2?t???12，

min从而可知?3?3?2?a?12，故答案为???2,12??．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）13；（2）b?3．

【解析】（1）由ccosB?bcosC?3acosB及余弦定理得：

a2c?c2?b22ac?ba2?b2?c22ab?3aa2?c2?b22ac，整理得23ac?a2?c2?b2， 2222∴由余弦定理得cosB?a?c?bac2ac?312ac?3．

（2）∵在△ABC中，B??0,π?，

2又∵cosB?13，∴sinB?1?cos2B?1???1?22?3???3，

由uCAuru?uCBuur?2得uBAuur?2，即c?2， 由S?12acsinB?22可得a?3，

由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB?32?22?2?3?2?13?9，

∴b?3．

18．【答案】（1）见证明；（2）?33． 【解析】（1）连接AC交BE于N，并连接CE，FN，

∵BC∥AD，BC?12AD，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE?BC， ∴四边形ABCE为平行四边形，

∴N为AC中点，又F为PC中点，∴NF∥PA， ∵NF?平面BEF，PA?平面BEF，∴PA∥平面BEF． （2）〖解法1〗（向量法）连接PE，

由E为AD的中点及PA?PD?3，得PE?AD，则PE?2， ∵侧面PAD?底面ABCD，且交于AD，∴PE?面ABCD，

如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则E?0,0,0?，A?1,0,0?，B?0,1,0?，C??1,1,0?，P?0,0,2?．

∵F为PC的中点，∴F??112?uuuruuur?112???2,2,2??，∴EB??0,1,0?，EF????2,2,2??，

????设平面EBF法向量为m??x,y,z?，则?uuur??m?EB?uuur?0?0?y?0?0???m?EF?0????112， 2x?2y?2z?0取m??2,0,1?，平面EBA法向量可取n??0,0,1?，

设二面角F?BE?A的大小为?，显然?为钝角， ∴cos???cosm,n??m?nmn??33，∴二面角F?BE?A的余弦值为?33． （2）〖解法2〗（几何法1）连接PE，由E为AD的中点及PA?PD?3，得PE?AD， ∵DE?1，∴PE?2，取PD中点M，连ME，MF，MA，

∵侧面PAD?底面ABCD，且交于AD，BE?AD，∴BE?面PAD， ∵ME?面PAD，AE?面PAD，∴BE?ME，BE?AE，

∵F为PC的中点，M为PD的中点，ME∥PA，NF∥PA，∴ME∥NF，

∴?MEA为二面角F?BE?A的平面角， 在Rt△PDE中，cos?PDE?333，ME?2， 在△MDA中，由余弦定理得MA?112， ∴在△MEA中，由余弦定理得cos?MEA??33， ∴二面角F?BE?A的余弦值为?33． （2）〖解法3〗（几何法2）连接PE，由E为AD的中点及PA?PD?3，得PE?AD， ∵侧面PAD?底面ABCD，∴PE?面ABCD， ∵BC?1，∴PE?2，

连BD交CE于点Q，则Q为CE中点，连QF，QN，FN，

∵F为PC的中点，∴PE∥FQ，FQ?面ABCD， 又QN∥BC，∴QN?BE，∴FN?BE，

∴?FNQ为二面角F?BE?A的平面角的补角 在Rt△FQN中，FQ?122PE?2，QN?112BC?2， 由勾股定理得FN?32，∴cos?FNQ?33，

∴二面角F?BE?A的余弦值为?33． 19．【答案】（1）分布列见解析，期望为1；（2）C，A，B．

【解析】（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．∴中位数为2500，∴甲的购买价格为2500．

C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，

故X的可能取值为0，1，2．

P?X?0??C202C21C112C242C021C?，P?X?1???，P?X?2??2C222?2?．

46C463C46

∴分布列为 X 0 1 2 P 1216 3 6 ∴数学期望E?X??0?P?X?0??1?P?X?1??2?P?X?2??1?213?2?6?1．

（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为C，A，B．

2220．【答案】（1）

xy4?3?1；

（2）过定点?1,0?． 【解析】（1）由点M????1,3?12??在椭圆C上，且椭圆C的离心率是2，

?可得?1??9?1?a2?4?a24b2，可解得?2?c?b2?3，故椭圆x2y??a?1C的标准方程为??1．

?432?c2?1（2）设点P，Q的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，

（i）当直线PQ斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得P??3??3??1,2??，Q??1,?2??，

（ii）当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y?kx?m， ?x2y2联立??4??1，消去y得4k2?3?x2?8kmx??4m2?12??0，?3? ?y?kx?m由??64k2m2?4?4k2?3??4m2?12??48?4k2?m2?3??0，有4k2?3?m2，

由韦达定理得：x8km4m2?121?x2??4k2?3，x1x2?4k2?3， 故ky1y211k2??x?2??x?2???4，可得4y1y2??x1?2??x2?2??0，

12可得4?kx1?m??kx2?m???x1?2??x2?2??0， 整理为?4k2?1?x1x2??4km?2??x1?x2??4m2?4?0， 故有?24k2?1?4m?124k2?3??4km?2?8km24k2?3?4m?4?0， 化简整理得m2?km?2k2?0，解得：m?2k或m??k，

当m?2k时直线PQ的方程为y?kx?2k，即y?k?x?2?，过定点??2,0?不合题意， 当m??k时直线PQ的方程为y?kx?k，即y?k?x?1?，过定点?1,0?， 综上，由（i）（ii）知，直线PQ过定点?1,0?．

21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）当a??1e时，f?x???1eex?xlnx?1，f??x???ex?1?lnx?1，

令g?x??f??x???ex?1?lnx?1?x?0?，则g?1??0， g??x???ex?1?1x，在?0,???上为减函数，且g??1??0，

令g??x??0，得0?x?1，∴g?x?的递增区间为?0,1?， 同理，可得g?x?的递减区间为?1,???， ∴g?x??g?1??0，即f??x??0， 故f?x?在?0,???单调递减．

（2）由（1）得a??1e时，f?x?在?0,???单调递减，

又f?1??0，∴a??1e时，f?x?有一个零点．

∵f?x?定义域为?0,???，故

f?x?x与f?x?有相同的零点，

f?x?x令h?x??x?aexx?lnx?1x，则h??x??a?x?1?exx2?1x?1?x?1??ae?1?x2?x2， 当a?0时，x??0,1?时，h??x??0，x??1,???时，h??x??0， ∴h?x?min?h?1??ae?1?0，h?x?无零点，f?x?也无零点． 当?1e?a?0时，令h??x??0，得x?1或x?ln??1???a??，

x ?0,1? 1 ??1,ln??1?????? ln????1???a?????1?a?? ?ln???a??,??? ?h??x? ? 0 ? 0 ? h?x? ↘ ↗ ↘ h?1??ae?1?0，

22当?1e?a??1aee?e?22?2?ee?2e2?4e2时，h?e??2?2?e?e?2?e??e??2?e?2e2????0， 3当?1e?a?0，即?12?1?1?2a?e时，ea????a??，

1??1?31?1?????11?1???1??1?2aah?????ae?ln????a??a?ae?ln????1???a?a???????1??1??0，

a?a???a??a?????a?a?a???设g?x??f?x??x，则?x???2,2?，g?x????a?2?x?2?1?a??0恒成立， ??6?01?g??2??0只需?， 即?，解得a??．

2??4a?2?0??g?2??0故h?x?有一个零点，f?x?也有有一个零点． 综上可知，当a?0时，f?x?无零点；

当?1e?a?0时，f?x?有一个零点．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）?x?1?2??y?3?2?2；（2）k?7． 【解析】（1）由?2?x2?y2，?cos??x，?sin??y， 代入曲线C2的极坐标方程可得x2?y2?2x?6y?8?0， 因此，曲线C222的普通方程为?x?1???y?3??2． （2）将曲线C??k?x?2?,x?21的方程可化为y??,x?2，

??k?2?x?由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，

直线kx?y?2k?0?x?2?与曲线C2相交且直线kx?y?2k?0?x?2?与曲线C2相交， 则有?k?3，化简得k2?1?2k2?6k?7?0，解得k??1或k?7，

3?kk2?1?2，化简得k2?6k?7?0，解得k??7或k?1，

∴k??7或k?7，

综上所述，实数k的取值范围是k?7．

23．【答案】（1）???,?4?U????43,?????；（2）a??12．

【解析】（1）①当x??2时，f?x???x?2?2?x?2??x?6?2，解得x??4， ②当?2?x?2时，f?x???x?2?2?x?2???3x?2?2，解得?43?x?2，

③当x?2时，f?x??x?2?2?x?2???x?6?2，解得x?2， 综上知，不等式f?x??2的解集为???,?4?U??4???3,????．

（2）当x???2,2?时，f?x??2?x?a?x?2????a?1?x?2?1?a?，