2018-2019学年选修2-3第一章训练卷
计数原理(一)答 案
一、选择题. 1.【答案】B
【解析】在正方体ABCD?A1B1C1D1中,选取3个面有2个不相邻,则必选相对的2个面,所以分3类.
若选ABCD和A1B1C1D1两个面,另一个面可以是ABB1A1,BCC1B1,CDD1C1和ADD1A1中的一个,有4种,
同理选另外相对的2个面也有4种.所以共有4?3?12 (种). 2.【答案】A
【解析】因为C87n+Cn?C8所以C7n?1,n?1?C8n?1.∴7＋8＝n＋1,∴n＝14,故选
A.
3.【答案】B 【解析】∵A2n?n?n?1??132.∴n?12.故选B.
4.【答案】D
【解析】展开式中第r＋1项为T?Crrr?17x,T?C22237x,∴x2的系数为C7?21.
5.【答案】C
【解析】本题考查捆绑法排列问题.由于一家人坐在一起,可以将一家三口人看作一个整体,一家人坐法有3！种,三个家庭即(3！)3
种,三个家庭又可全排列, 因此共(3！)4
种.注意排列中在一起可用捆绑法,即相邻问题. 6.【答案】A
【解析】由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类.
第一类,用4色有A4色有4A3434种,第二类,用33种,故共有A4?4A3?48种.
7.【答案】D
【解析】x10的系数为a10,∴a910?1,x9的系数为a9?C10?a10,∴a9?10?0,
∴a9??10,故应选D.
另解：∵[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋
＋a10(x＋1)10,
显然a?C1910??1???10.
8.【答案】B
【解析】分两种情况：(1)小张小赵去一人：C1132C2A3?24； (2)小张小赵都去：A222A3?12,故有36种,应选B.
9.【答案】D
【解析】由题意可得,二项式的展开式满足TCrr37r?1?nx,且有Cn?Cn,因此n＝10.
令x＝1,则?1?x?n?210,即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1,则
?1?x?n?0,即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0,因此
奇数项的二项式系数和为
12?210?0??29.故本题正确答案为D. 10.【答案】B
【解析】由题意不同的放法共有C1223C4C2?18种.
11.【答案】B
【解析】据题意,万位上只能排4、5.若万位上排4,则有2?A34个；若万位上排5,则
有3?A33?A34个.所以共有2?A4+34?5?24?120个.故选B.
12.【答案】C
【解析】解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数,然后根据正方体六个面的特征计算总对数.
如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条,同理与BD成60°角的面对角线也有8条,因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线,共组成16对,又正方体共有6个面,所有共有16×6＝96对.因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时,有AD1,计算与AD1成60°角时有AC,故AD1与AC这一对被计算了2次),因此共有1
2
×96＝48对.
解法2：间接法.正方体的面对角线共有12条,从中任取2条有C212种取法,
其中相互平行的有6对,相互垂直的有12对,∴共有C212?6?12?48对.
二、填空题. 13.【答案】120
【解析】由题得选取的情况有三种,分别是1名男教师和4名女教师；2名男教师和3名女教师；3名男教师和2名女教师.
当选1名男教师和4名女教师时,有C143C6?45种； 当选2名男教师和3名女教师时,有C233C6?60种； 当选3名男教师和2名女教师时,有C323C6?15种,
所以不同的选取方式的种数共有45?60?15?120种. 14.【答案】3
【解析】由已知得(1＋x)4
＝1＋4x＋6x2
＋4x3
＋x4
,故(a＋x)(1＋x)4
的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3
,x,6x3
,x5
,其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32,解得a＝3. 15.【答案】264
【解析】由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有A44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复,如
甲 乙 丙 丁 上午 台阶 身高 立定 肺活量 下午 下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种有3×3＝9,故A44?2?9??264种. 16.【答案】228
【解析】一个数能被3整除的条件是它的各位上的数字之和能被3整除.根据这点,
分为如下几类：
(1)三位数各位上的数字是1,4,7或2,5,8这两种情况,这样的数有2A33?12 (个). (2)三位数的各位上只含0,3,6,9中的一个,其他两位上的数则从(1,4,7)和(2,5,8)中各
取1个,这样的数有C1113(个),但要除去0在百位上的数,有C1124C3C3A3?216 3C3A2?18
(个),因而有216－18＝198(个).
(3)三位数的各位上的数字是0,3,6,9中的3个,但要去掉0在百位上的,
这样应有3×3×2＝18(个),综上所述,由0到9这10个数字所构成的无重复数字且能被3整除的3位数有12＋198＋18＝228(个).
三、解答题.
17.【答案】(1)100种；(2)80种. 【解析】(1)方法一：(直接法).
第一类：3名代表中有1名男生,则选法种数为C124?C6?60 (种)； 第二类：3名代表中有2名男生,则选法种数为C214?C6?36 (种)；
第三类：3名代表中有3名男生,则选法种数为C34?4 (种)； 故共有60＋36＋4＝100(种). 方法二：(间接法).
从10名同学中选出3名同学的选法种数为C310种. 其中不适合条件的有C33?C36种,故共有C106?100 (种). (2)第一类：3名代表中有一名男生,则选法为C124C6?60 (种)；
第二类：3名代表中无男生,则选法为C36?20 (种)； 故共有60＋20＝80(种). 18.【答案】(1)36条；(2)27条.
【解析】(1)要使抛物线的开口向上,必须a?0,∴C123?A4?36 (条). (2)开口向上且不过原点的抛物线,必须a?0,c?0,∴C1113?C3?C3?27 (条).
19.【答案】第4项－84x4和第10项－x3. ?19?rr【解析】∵Tr???1??r?1?C9???x2??????x3??(?1)r?Cr27?r??9?x, ?6
令
27?r6?Z,即4?3?r6?Z,且r∈{0,1,2,…,9}.∴r＝3或r＝9. 当r＝3时,27－r6＝4,T3?C3444???1?9?x??84x； 当r＝9时,27－r6＝3,T993310???1??C9?x??x. ∴
?x?3x?9的展开式中的有理项是：第4项－84x4和第10项－x3.
20.【答案】(1)256种；(2)144种；(3)144种.
【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有4种独立的放法, 由分步乘法计数原理,放法共有44＝256(种).
(2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出去1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球, 其余两个球,两个盒子,全排列即可.由分步乘法计算原理,共有放法：
C14?C24?C1?A232?144 (种).
(3)“恰有一个盒内放2个球”,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此,“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法. 2221.【答案】(1)二项式系数最大项为第三、四两项,T63?90x,T4?270x3；
26(2)展开式中第5项系数最大,T5?405x3.
【解析】令x＝1得展开式各项系数和为?1?3?n?4n,
又展开式二项式系数和为C01n+Cn??Cnn?2n,
由题意有4n－2n＝992,即?2n?2?2n?992?0,?2n?32??2n?31??0,所以n＝5.
(1)因为n＝5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大项为第三、四两项,
它们是T2322322223?C5?x2?3??3x??90x6,T4?C35?x??3x2?3?270x3.
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大. 10?4k又T25?kk?1?Ck5?3x???3x2?k?Ckk53x3,
?
3得??k≥16－k
?Ckkk?13k?15?3?C5???Ckk?Ck?1k?1?
5?35?3??135－k≥k＋1
?
72?k?92. 2626又因为k?Z,所以k＝4,所以展开式中第5
项系数最大.T445?C53x3?405x3.
322.【答案】展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项,T4?280x2,T5?560x2.
【解析】Trr?1?Cn?r2x?r?2r?Cr?x2,它的前一项的系数为2r?1?Cr?1nn,它的后一项的系数为2r?1?Cr?1n,
?2r?Cnr?2?2r?1?Cr?1根据题意有?n,???2r－1＝n，???rr5r??2?Cn?1r?16?2?Cn?∴??n＝7，
?8r＋3＝5n， ??r＝4.
∴展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项.
T4?C37?2x?33?280x2,T5?C47?2x?4?560x2.
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