例谈初中数学思想方法
东莞市可园中学 李永义
【摘要】： 本文通过对具体的数学问题的分析来阐述了特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想、化
归思想、几何变换思想以及方程与函数思想等数学思想方法在初中数学中的应用。 【关键词】：初中数学；思想方法；特殊与一般；分类讨论；数形结合；整体思想；化归思想；几何变换思想；方程与函数思想
数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锤炼升华的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是将数学知识转化为数学能力的桥梁，是数学的精髓，是数学科学和数学学科固有的灵魂，是数学素养的集中体现，只有充分掌握领会数学思想才能有效提高应用数学知识的能力。初中数学思想主要包括特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、整体思想、几何变换思想、函数与方程思想等。
1．特殊与一般思想
特殊与一般思想是指：对于在一般情况下难以求解的问题，可以运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解，包含从“特殊到一般”和“一般到特殊”两个相反方向的思路。
例1(2007年青岛中考题改编). 如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
解析：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图2）：
21A P D ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
21∴S△ABP＝S△ABD ．
21∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
21B 图 1
C
∴S△CDP＝S△CDA ．
21A P D ∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP ＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
22212111B 图2 P D C
A ＝S△DBC＋S△ABC ．
2211（2）按照这种思路我们可以得到：
当AP＝AD时（如图3）S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． B 当AP＝AD（n表示正整数）时，S△PBC＝S△DBC＋
n31331n?1nmnn?m112图 3
C
S△ABC ．
mAD（n表示正整数）时，S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． nnn本题从特殊情况入手，发现解题的思路技巧，并用此思路技巧解决更一般的问题，将结论进行推广，从而达到解决问题的途径。 例2（2010年东莞市中考题）．阅读下列材料：
当AP＝
11?2?(1?2?3?0?1?2),312?3?(2?3?4?1?2?3),
313?4?(3?4?5?2?3?4),3由以上三个等式相加，可得
11?2?2?3?3?4??3?4?5?20．
3读完以上材料，请你计算下各题：
（1）1?2?2?3?3?4???10?11（写出过程）；
（2）1?2?2?3?3?4???n?(n?1)?_____； （3）．1?2?3?2?3?4?3?4?5???7?8?9?______
解析：由题目给出的1?2,2?3,3?4这几个具体式子的信息，1我们可以得到1?2?2?3?3?4?...?n(n?1)?n(n?1)(n?2)这个一般规律。31而且由此我们可以进一步猜想推断：1?2?3?（1?2?3?4-0?1?2?3），4112?3?4?（2?3?4?5-1?2?3?4），3?4?5?（3?4?5?6-2?3?4?5），......441并得到：1?2?3?2?3?4?3?4?5?...?n(n?1)(n?2)?n(n?1)(n?2)(n?3).4如果我们不满足于此，我们是否可以进一步设想：1?2?3?????n?2?3?4?????(n?1)?3?4?5?????(n?2)?????n(n?1)(n?2)???2n1n(n?1)(n?2)???2n?(2n?1)n?1的几种特殊情形，再探索并归纳出一般性的结论或规律，然后运用归纳出的规律解决具体问题。
? 本题先研究问题
2.分类讨论思想
分类讨论的思想是指当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。
例3（2010年福建宁德中考题改编）．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（0 A D G B E→ F→ C 图4 解析：随着E点移动的距离不同，△EFG与梯形ABCD重叠部分图形也不同，因此我们要根据x的不同取值分三种情况进行讨论： ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，如图4,所以y＝②当2＜x＜3时，如图5，点E、点F在线段BC上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM， ∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6. 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°， 所以，此时 y＝323x－（3x－6）2＝?73x2?93x?93. 8224832 x； 4③当3≤x≤6时，如图6，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， ∵EC＝6－x, ∴y＝3（6－x）2＝3x2?33x?93. 8228G G A D A D M P N B E F C B E C H 图6 图5 当题目中满足条件的图形形状不能确定时，就应根据题意，构造符合题意的各种图形，动中取静，然后分情况加以讨论。 例4..函数y?ax2?ax?3x?1的图像与x轴有且只有一个交点。求a的值及交点坐标。解析：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数，故应对二次项系数a分两种情形讨论:1（1）.当a?0时，y?ax2?ax?3x?1是一次函数y?3x?1,与x轴交于点（-,0）；3(2).当a?0时，y?ax2?ax?3x?1是二次函数，2则??（3-a）-4a?0,则a?1或a?9.当a?1时，交点坐标为（-1,0）；1当a?9时，交点坐标为（,0）.311所以a的值和交点分别是：a?0,(?,0);：a?1,(?1,0);：a?9,(,0).33对于含有参数的方程、不等式及函数等问题，通常要运用分类讨论的思想来处理。 3. 数形结合思想 数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美、统一美。数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了显明的直观性。数形结合是初中数学中十分重要的思想，在数学问题的解决中具有数学独特的策略指导与调节作用。 2x?2的最小值。例5.求y?x2?4x?13?x2?解析：初中生直接去解这个问题非常困难。但是若利用 “两点间距离公式”，则这个问题变成了一个几何问题。 解题思路： 把两个根式进行变形： x2?4x?13?(x?2)2?(0?3)2x?2x?2?(x?1)?(0?1)222 它们分别表示平面直角坐标系中位于x轴上的点M（x，0）到A（-2，3）的距离及点M（x，0）到B（1，1）的距离。（见图7） 图8 图3.6图7 图3.7 就是说 = |AM| + |MB| y?x?4x?13?x?2x?2这样原来的代数的问题现在变成了一个几何问题： 在x轴上找一点M使得|AM| + |MB| 最小， 因为A（-2，3）关于x轴的对称点就是A’（-2，-3） 所以y的最小值= |A’B| = = 5。（见图8） 32?4222例6.如图9，正方形OPQR内接于△ABC,已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1?1，S2?3和S3?1.求正方形OPQR的边长。解析：设正方形OPQR的边长为x，作△ABC的BC边上的高AD交OR于F.A2在Rt△AOR中，由S1?1，OR?x，得AF?.xRO62同理：BP?,QC?.F xx由S△ABC?S1?S2?S3?S四边形OPQR,得1262（?x?)(?x)?1?3?1?x2.2xxx解得 x?2.题转化为代数问题，使问题得以顺利解决。 BPDQ图9 C本题为了求边长，需利用“等面积原理”列出关于边长的方程，从而把几何问4.整体思想 所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。 例7.(2009年东莞市中考题）.解方程:x?x?2?4?0。解析：本题表面看是我们初中阶段没学过的无理方程，但我们只要把x?2看成一个整体，令x?2?t,则x?t2?2,因此，原方程就转化为t2?2?t?4?0这样一个我们熟悉的、已知的关于t的一元二次方程了，问题也就迎刃而解了。例8.已知?、?是方程x2?7x?2?0的两根。且???,求解析：由已知有????7，???2，(???)2?(???)2?4???41,????,?????4122令A??3?,B??3? 2??3?的值。??则A?B?2(???)???3(???)?28; A?B?2(???)???（3?-?）?-441， 由两式相加得A?14?241,两式相减得B?14?241.利用整体求和的方法不仅球处理A，而且得到了B这一副产品，可谓一箭双雕。5．化归思想 化归思想,指的是转化与归结.即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题,从而最终解决原问题的一种思想. 如未知向已知转化;复杂问题向简单问题转化;命题之间的转化;数与形的转化;空间向平面的转化;高次
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