2018年中考数学试题分类汇编知识点38相似、位似及其应用

点B1在y轴上，点C1、C2、C3…Cn+1在直线PQ上，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左到右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、

S3…Sn，则Sn可表示为（ ）

n2n?2n?12n3333A． B． C． D．

n?12n?3n?22n?14444【答案】A．

【思路分析】首先由一次函数关系式求得点P和点Q的坐标，用勾股定理求得PQ的长度，利用等面积法求得ON的长度，然后由△O A1B1∽△OPQ求得正方形A1B1C1C2的边长a1的值，从而得出S1＝10；在利用勾股定理和△O A1B12n?13?3???32n?2∽△OPQ，得出正方形A2B2C2C3的边长a2＝a1，以此类推，得到Sn＝10×Sn-1＝10××??＝．

2n?3444?4?433【解析】

如下图（1），当x＝0时，y＝

133，故点Q的坐标为（0，

133），OQ＝

13113；当y＝0时，?x??0，解得x＝33321310222?13?13，故点P的坐标为（13，0），OP＝13，在Rt△OPQ中，则PQ＝OP?OQ?13????，过点O33??作ON⊥PQ于点N，交A1B1于点M，则S△OPQ＝

OP?OQ113?13?1310，OP·OQ＝ON·PQ，则ON＝?1322PQ1010103OM13?13A1B1?设正方形A1B1C1C2的边长为a1，∵四边形A1B1C1C2是正方形，∴A1B1∥PQ，则△O A1B1∽△OPQ，∴，即ONPQ1310?a1a110，解得a1＝10，则S1＝?13101310103??102＝10，∵△OA1B1∽△OPQ，∴

OA1OP13???3，令OB1

13OB1OQ3

2＝m，则OA1＝3m，则在Rt△OPQ中，?3m??m2???102，解得m＝1，故OB1＝m＝1，OA1＝3m＝3，则S1＝

??102＝10，设正方形A2B2C2C3的边长为a2，则A1C2＝A2B2＝a2，∵四边形A2B2C2C3是正方形，∴∠A1B2A2＝∠A1OB1＝90°，∴∠OB1 A1＋∠OA1B1＝90°，∠OA1B1＋∠B2A1A2＝90°，∴∠OB1 A1＝∠B2A1A2，又∵∠A1OB1＝∠A1 B2A2＝90°，∴

A2B2OA111??3，∴A2B2＝3A1B2，∴A1B2＝A2B2＝a2，又∵A1B2＋B2C2＝A1C2，∴△O A1B1∽△A1A2B2，∴

A1B2OB133333?3??3?a2＋a2＝a1，解得a2＝a1，S2＝10×??，同理可得an＝an-1，Sn＝10×Sn-1＝10××??1322?n?1?2n?23＝，

34?4?444?4?故选A．

【知识点】一次函数性质；正方形的性质；等面积法；相似三角形的性质和判定；勾股定理；找规律

2. （2018四川遂宁，10，4分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分 别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向 旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以 下结论：①DE+BF=EF，②BF=

47，③AF=307，④S32△MBF=175中正确的是

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D.

【解析】解：∵∠ABC=90°，

42n?3

∴∠ABG=90°， 在△ADE和△ABG中，

?AD?AB???D??ABG?90?， ?DE?BG?∴△ADE≌△ABG（SAS）， ∴AE=AG，∠DAE=∠BAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAF+∠DAE=45°， ∴BAF+∠BAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△AGF中，

?AE?AG???EAF??GAF， ?AF?AF?∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=GF，

∵GF=BG+BF=DE+BF， ∴EF=DE+BF． 故①正确；

设BF=x，则FC=4-x，GF=EF=3+x， 在Rt△EFC中， ∵FC+EC=EF，

∴(4-x)+1=(3+x)，解得x=故②正确； 在Rt△ABF中，

2

2

2

2

2

2

4， 7

∵AB+BF=AF， ∴AF=4+(

2

2

222

42800)=， 749∴AF=

202， 7故③错误； S△AGF=

150GF·AB=. 27∵BM∥AG， ∴△BFM∽△GFA， ∵

BF4, ?GF254232. )×S△AGF=

25175∴S△MBF=(故④正确. 故选D.

【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质

3. （2018·重庆A卷，5，4）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm 和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为 （ ）

A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【答案】 C．

【解析】设中另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的性质，得【知识点】相似三角形的性质

4. （2018贵州遵义，10题，3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD，若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为

x2.5，解得x＝4.5，故选C． ?95