2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：二次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；
（2）无关，理由：
由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），
将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a， 令y＝0，则x＝3，故点E（3，0）， 即OE＝3，OE的长与a值无关；
（3）tanβ＝故﹣
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE， 则PD＝PE，∠DPE＝90°，而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），
＝
＝﹣a，
，解得：
，
≤a≤﹣1；
过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°， ∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE， ∴△PMD≌△ENP（AAS）， ∴MD＝PN，MP＝NE，
即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m， 解得：n＝﹣1﹣m，m＝2a+1， ∵a＜0， 故m＝2a+1＜1， 故n＝﹣m﹣1（m＜1）．
2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在△ABC内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，
Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标． 解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a 令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0） ∵S△ABC＝6
∴（1﹣a）（﹣a）＝6 解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）如图①，∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x， ∵由A（﹣3，0），B（1，0）， ∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1 将x＝﹣1代入y＝﹣x， 解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）如图②，作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP＝AB?PM＝×4d ∵S△PQB＝S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等， ∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y＝x+b ∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1
联立 ．
解得：．
∴点P坐标为（﹣4，﹣5） 又∵∠PAQ＝∠AQB， ∴∠BPA＝∠PBQ， ∴AP＝QB，
在△PBQ与△BPA中，
，
∴△PBQ≌△ABP（SAS）， ∴PQ＝AB＝4 设Q（m，m+3） 由PQ＝4得：
（m+4）2+（m+3+5）2＝42
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去） ∴Q坐标为（﹣4，﹣1）．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为 （1，4） ；③直线BD的解析式为 y＝﹣2x+6 ；
（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？
（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交x轴于点N．当点M的坐标为 （2，3） 时，四边形MNAC是平行四边形．
0）B0）解：（1）①把A（﹣1，，（3，代入y＝ax2+bx+3，得∴y＝﹣x2+2x+3；
②函数的对称轴为：x＝1，则D的坐标为：（1，4）， 故答案为（1，4）；
③将点B、D的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BD的表达式为：y＝﹣2x+6， 故答案为：y＝﹣2x+6；
（2）∵点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣2m+6． 当x＝0时，y＝0+0+3＝3．
，解得： ，
∴C（0，3）． 由题意可知：
OC＝3，OQ＝m，PQ＝﹣2m+6．
∴s＝（OC+PQ）×OQ＝（﹣2m+6+3）m＝∵﹣1＜0，1＜＜3， ∴当
（3）如图所示，四边形MNAC是平行四边形，
时，s最大值＝
；
．
则CM∥x轴，则点M和点C关于函数对称轴对称， 故点M（2，3）， 故答案为：（2，3）．
4．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，当S取何值时，对应的点E有且只有三个？
解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则C（4，0），
把B（0，3），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；
，
（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，
所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，
即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点， 设此时直线解析式为y＝﹣x+b，
方程组只有一组解，
方程﹣x2+x+3＝﹣x+b有两个相等的实数解，
则△＝122﹣4×3×（﹣24+8b）＝0，解得b＝，解方程得x1＝x2＝2， E点坐标为（2，2），
此时S△BEC＝×4×（2﹣）＝1， 所以当S＝1时，对应的点E有且只有三个．
5．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的解析式及点M的坐标．
（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．
（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
解：（1）直线y＝﹣x+3故点B和点C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x+3）， 故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4）；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，过点P作PD⊥BC于点D，
OC＝OB＝3，则∠DPH＝∠CBA＝45°， 设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， d＝PD＝∵
（3）点A关于y轴的对称点A'（1，0），设点F（m，3﹣m），而点C（0，3）， A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，FC2＝2t2，
由题目知，∠A′CF≠90°，则当△FA'C是直角三角形时，分以下两种情况：
PH＝
（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝
（﹣x2+3x），
）；
＜0，故d有最大值，此时x＝，则点P（，
当CF为斜边时，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2t2，解得：m＝； 当A′C为斜边时，同理可得：m＝2， 故点F的坐标为：（，）或（2，1）．
6．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．
解：（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3， tan∠BAC＝3，则OA＝1，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），
将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得： 直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1）， 设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t）， S＝CR×（xP﹣xA）＝
（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2， 故点P（2，3），而点C（0，3）， 连接CP，则CP∥x轴，
CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α， HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，
过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，作HM⊥CP于点M，
（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；
CP＝2，OC＝3，
CH＝CPsinα＝2sinα，ON＝OCsinα＝3sinα，CN＝OCcosα＝3cosα， ∵ON⊥CN，GH⊥CH， ∴∠HON＝∠OHG， 故tan∠HON＝
＝
＝
＝tan∠OHG＝，
解得：tan，则sinα＝，cosα＝，
）；
MH＝CHcosα＝2sinα?cosα＝，CM＝CHsinα＝，故点H（，设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），
由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝故点G（﹣，）， 由点G、H的坐标得，GH＝
．
，
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝
与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐
标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的表达式．
（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒． ①求t的取值范围．
②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；
③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．
解：（1）∵在抛物线中，当x＝﹣1和x＝3时，y值相等， ∴对称轴为x＝1， ∵y＝
与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛
物线的顶点M， ∴顶点M（1，﹣
），另一交点为（6，6），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣将点（6，6）代入y＝a（x﹣1）2﹣得6＝a（6﹣1）2﹣∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣
（2）①在y＝（x﹣1）2﹣
；
，
，
，
中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4；当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）， ∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3， ∴BC＝∴
＝，
＝5，
∵＜4， ∴0≤t≤；
②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°两种情况， 当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°， ∴PQ∥OC， ∴△BPQ∽△BOC， ∴∴t＝
＝
，即；
＝
，
当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO， ∴△BPQ∽△BCO， ∴
＝
，即
＝
，
∴t＝，
综上所述，t的值为
或；
③如右图，过点Q作QH⊥x轴于点H， 则∠BHQ＝∠BOC＝90°， ∴HQ∥OC， ∴△BHQ∽△BOC， ∴
＝
，即，
＝
，
∴HQ＝
∴S四边形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ ＝×6×3﹣（4﹣t）×t ＝（t﹣2）2+∵＞0，
∴当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是
．
，
8．如图，抛物线y＝ax2+bx与x轴相交于O，A两点，顶点D在第一象限，点P在该抛物线上．
（1）若点P坐标为（1，3）． ①求b与a的函数关系式；
②已知两点M（2，0），N（5，0），当抛物线y＝ax2+bx与线段MN没有交点时，求a的取值范围；
（2）若P点在该抛物线的曲线段OD上（不与点O，D重合），直线DP交y轴于点C，过P点作PB⊥x轴于点B，连接DA，CB．求证：DA∥CB．
解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx经过点P（1，3）， ∴a+b＝3， ∴b＝3﹣a；
②由①得y＝ax2+（3﹣a）x，
（Ⅰ）当抛物线与x轴的另一个交点A在M（2，0）左侧时，抛物线与线段MN没有交点，
∵抛物线y＝ax2+（3﹣a）x开口向下，经过原点且顶点在第一象限， ∴
解得：a＜﹣3；
（Ⅱ）当抛物线与x轴的另一个交点A在N（5，0）右侧时，抛物线与线段MN没有交点， ∴
， ，
解得：﹣＜a＜0，
综上所述：当a＜﹣3或﹣＜a＜0时，该抛物线与线段MN没有交点；
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H点， ∵抛物线y＝ax2+bx的顶点D（﹣∴DH＝﹣
，H（﹣
，0），
，﹣
），
在y＝ax2+bx中，当y＝0时，x1＝0，x2＝﹣， ∴点A（﹣，0），HA＝OA﹣OH＝﹣
，
设直线PD的解析式为y＝mx+n，P（x，ax2+bx），则B（x，0）， 将P（x，ax2+bx），D（﹣
，﹣
）代入y＝mx+n，
∴，
解得，
∴C（0，bx）， ∴CO＝bx，OB＝x，
∵＝＝﹣，＝＝﹣，
∴＝，
又∵∠COB＝∠DHA＝90°， ∴△COB∽△DHA， ∴∠CBO＝∠DAH， ∴DA∥CB．
9．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，
3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）判断△BCD的形状并说明理由．
（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，
将点B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3， 得0＝﹣9+3b+3， ∴b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； ∵直线l经过B（3，0），C（0，3）， ∴可设直线l的解析式为y＝kx+3， 将点B（3，0）代入， 得0＝3k+3， ∴k＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3；
（2）△BCD是直角三角形，理由如下： 如图1，过点D作DH⊥y轴于点H， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D（1，4），
∵C（0，3），B（3，0）， ∴HD＝HC＝1，OC＝OB＝3，
∴△DHC和△OCB是等腰直角三角形， ∴∠HCD＝∠OCB＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠HCD﹣∠OCB＝90°， ∴△BCD是直角三角形；
（3）∵EF⊥x轴，∠OBC＝45°， ∴∠FGB＝90°﹣∠OBC＝45°， ∴∠EGC＝45°，
∴若△ECG是直角三角形，只可能存在∠CEG＝90°或∠ECG＝90°， ①如图2﹣1，当∠CEG＝90°时， ∵EF⊥x轴， ∴EF∥y轴，
∴∠ECO＝∠COF＝∠CEF＝90°， ∴四边形OFEC为矩形， ∴yE＝yC＝3，
在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝3时，x1＝0，x2＝2， ∴E（2，3）；
②如图2﹣2，当∠ECG＝90°时， 由（2）知，∠DCB＝90°， ∴此时点E与点D重合， ∵D（1，4）， ∴E（1，4），
综上所述，当△ECG是直角三角形时，点E的坐标为（2，3）或（1，4）．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）（x+1）与x轴交于A、B两点，与轴交于点C（0，﹣
），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点E为第二象限抛物线上的一动点，EF∥BC，直线EF与抛物线交于点F，设直线EF的表达式为 y＝kx+b ．
①如图①，直线y＝kx+b与抛物线对称轴交于点G，若△DGF∽△BDC，求k、b的值；②如图②，直线y＝kx+b与y轴交于点M，与直线y＝
x交于点H，若
﹣
＝
，
求b的值．
解：（1）将C（0，﹣得﹣3a＝﹣∴a＝
，
，
）代入y＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线的函数表达式为y＝
（x﹣3）（x+1）＝
x2﹣
x﹣；
（2）①如图1，过点F作FN⊥DG，垂足为点N， 在y＝
（x﹣3）（x+1）中，令y＝0，
得x1＝3，x2＝﹣1， ∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝mx﹣将点B（3，0）代入y＝mx﹣得0＝3m﹣∴m＝
，
x﹣
，
，
， ，
∴直线BC的表达式为y＝∵抛物线y＝∴D（1，0）， ∴CD＝
∴CD＝BD＝2，
＝2，
（x﹣3）（x+1）的对称轴为x＝1，
在Rt△COD 中，tan∠ODC＝，
∴∠ODC＝60°，∠CDB＝120°，
∵△DGF∽△BDC，
∴DG＝FG，∠DGF＝120°， 设DG＝FG＝2m，
在Rt△NGF中，∠NGF＝60°，FG＝2m， ∴NG＝m，NF＝∴F（1+将点F（1+得m1＝﹣∴点F（5，4∵EF∥BC， ∴EF的表达式为y＝将点F（5，4得4∴b＝
＝
x+b，
x+b，
m，
m，3m）， m，3m）代入y＝
（x﹣3）（x+1）中，
，
（不合题意，舍去），m2＝），
），代入y＝
×5+b， ，
；
∴k＝1，b＝
②如图2，分别过点F、H、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q、S， 联立
，
得点H（，），
联立，
得x2﹣3x﹣3﹣
b＝0，
设点E、F的横坐标分别为x1，x2， 则
，
由ES∥HQ∥FP，
可得△MHQ∽△MES，△MHQ∽△MFP， ∴
＝
＝
，
＝
＝
，
∵∴
﹣﹣
＝，
＝1，
∴﹣＝1，
∴∴b＝2
．
＝﹣1，
11．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的
值；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：
，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，
抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3）， 将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得： ∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3， 当y＝0时，x＝， 故点E（，0），
（3）①当点P在x轴上方时，如图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB， 过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a， 则PB＝PA＝
a，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2， 16＝a2+（
a﹣a）2，解得：a2＝8+4
．
，
则PB2＝2a2＝16+8
②当点P在x轴下方时， 同理可得
．
．
综合以上可得，PB2的值为16+8
12．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，已知点P为抛物线第一象限上一动点，连接PB、PC、BC． （1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标； （2）当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图②，当点P与抛物线顶点重合时，过点B的直线
与抛物线交于点E，
在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M，使得∠BEM＝∠PBC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3， 得解得
，
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交BC于点N， 在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3， 将点B（3，0）代入y＝kx+3， 得3k+3＝0， ∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3）， ∴PN＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△PBC＝×PN×OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，△PBC的面积最大， ∴P（，
）；
，
（3）存在，如图2，过点P作PH⊥x轴于H，设直线则Q（0，﹣），
与y轴交于点Q，
在Rt△OBQ中，tan∠OBQ＝＝＝，
在Rt△PHB中，tan∠BPH＝∴∠OBQ＝∠BHP， ∵∠BPH+∠PBH＝90°， ∴∠OBQ+∠PBH＝90°， 即∠PBE＝90°， 将点B（3，0）代入直线得3k﹣＝0， ∴k＝， ∴y＝x﹣，
＝＝，
，
联立，
解得，x1＝3，x2＝﹣， ∴E（﹣，﹣）， 过点E作EF⊥BC于点F， 则∠FEB+∠FBE＝90°， ∵∠PBC+∠FBE＝90°， ∴∠FEB＝∠PBC，
则此时射线EF与抛物线的交点即为所求的点M， ∵BC＝
＝3
，PC＝
＝
，PB＝
＝2
，
∴BC2+PC2＝PB2，
∴△PCB为直角三角形，且∠PCB＝90°，
∴sin∠PBC＝∴sin∠FEB＝∵EB＝∴FB＝
，
＝＝
＝， ＝
，
，
过点F作FD⊥x轴于点D， ∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠DBF＝∠DFB＝45°， ∴DB＝DF＝∴F（
FB＝，
，），
设直线EF的解析式为y＝kx+b， 将点E（﹣，﹣），F（
，）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线EF的解析式为y＝x﹣，
联立，
解得，x1＝，x2＝﹣， 当x＝时，y＝， ∴M（，）．
13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）点B的坐标为 （3m，0） ，点D的坐标为 （m，4m2） ；（用含有m的代数式表示）
（2）连接CD，BC．
①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式； ②连接
AC，若
CB
平分∠ACD，求二次函数的表达
式．解：（1）在二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2中， 当y＝0时，x1＝3m，x2＝﹣m， ∵点A在点B的左侧，m＞0， ∴A（﹣m，0），B（3m，0），
∵y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2， ∴顶点D（m，4m2），
∴故答案为：（3m，0），（m，4m2）；
（2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E， 则DH∥OC， ∴∠DEC＝∠OCE， ∵BC平分∠OCD， ∴∠OCE＝∠DCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴CD＝DE，
由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0）， ∴OC＝3m2，OB＝3m， ∵
，
∴HE＝2m2，
∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2， ∵CD＝DE，
∴CD2＝DE2， ∴m2+m4＝4m2， 解得：m1＝
，m2＝﹣
（舍去），
；
∴二次函数的关系式为：
②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE， ∵tan∠DCG＝
＝m，tan∠KCB＝
＝m，
∴∠DCG＝∠KCB， ∴CK∥AB， ∴∠KCB＝∠EBA，
由对称性知，DH垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB，
∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD， ∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE， ∴AC＝AE，
∴AC2＝AE2＝EH2+AH2， ∴m2+9m4＝4m4+4m2， 解得：m1＝
，m2＝﹣
（舍去），
．
∴二次函数的关系式为：
14．抛物线y＝﹣x2+x+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）若B点坐标为（2，0） ①求实数b的值；
②如图1，点E是抛物线在第一象限内的图象上的点，求△CBE面积的最大值及此时点E的坐标．
（2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点D，若抛物线上存在点P，使得P、B、C、D四点能构成平行四边形，求实数b的值．（提示：若点M，N的坐标为M（x?，y?），N（x?，y?），则线段MN的中点坐标为（
，
）
解：（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b， 得到0＝﹣4+2+b， ∴b＝2；
②C（0，2），B（2，0）， ∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2， 设E（m，﹣m2+m+2），
过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2， ∴直线BC与其垂线的交点为F（，﹣
+2），∴EF＝
（﹣
+2）＝
[﹣（m﹣1）2+]， 当m＝1时，EF有最大值， ∴S＝×BC×EF＝×2
×
＝1，
∴△CBE面积的最大值为1，此时E（1，2）； （2）∵抛物线的对称轴为x＝， ∴D（，0），
∵函数与x轴有两个交点， ∴△＝1+4b＞0， ∴b＞﹣， 可求C（0，b），B（，0），
设M（t，﹣t2+t+b），
①当CM和BD为平行四边形的对角线时，
C、M的中点为（，∴＝∴b＝﹣1+∴b＝﹣1+
，或b＝﹣1﹣；
），B、D的中点为（＝0， ，
，0），
②当BM和CD为平行四边形的对角线时， B、M的中点为（∴∴b无解；
③当BC和MD为平行四边形的对角线时， B、C的中点为（∴
＝
，），M、D的中点为（，＝
，
，
），
＝，
，＝，
），C、D的中点为（，），
∴b＝或b＝﹣（舍）； 综上所述：b＝﹣1+
或b＝．
15．平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+2经过A、C两点． （1）如图1，求a、c的值；
（2）如图2，点P为抛物线y＝ax2+x+c在第一象限的图象上一点，连接AP、CP，设点P的橫坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点D为线段AC上一点，直线OD与直线BC交于点E，点F是直线OD上一点，连接BP、BF、PF、PD，BF＝BP，∠FBP＝90°，若OE＝求直线PD的解析式．
，
解：（1）∵直线y＝kx+2经过C点， ∴C（0，2），
把点B的坐标为（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c， 得到
，
解得
；
（2）如图1，过点P作x轴的垂线，与直线AC交于点K，分别过点A、点C作PK的垂线，垂足分别为点M、N， ∵y＝﹣x2++2， ∴A（﹣1，0），
∵直线y＝kx+2经过A点， ∴k＝2， ∴y＝2x+2， ∵P点的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2）， ∴PK＝t2+t，
∴S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK ＝＝＝
，
﹣
﹣
∴S＝t2+t（0＜t＜4）；
（3）∵OC＝2，OB＝4， ∴tan∠OBE＝，
如图2：过点O作OH⊥BC于点H，易得OH＝∵OE＝
，
，
，BH＝
，
∴由勾股定理得EH＝∴BE＝∴CE＝
， ，
过点E作EG⊥y轴于点G， ∵tan∠CEG＝tan∠OBE＝， ∴CG＝，EG＝， ∴E（﹣，），
∴易得直线OE的解析式y＝﹣2x， ∵直线AC的解析式为y＝2x+2，
∴联立直线OE与直线AC的解析式，解得D（﹣，1），
过点B作x轴的垂线，与过点P、F作的y轴的垂线分别交于Q、R两点， ∵∠FBP＝90°， ∴∠PBQ＝∠BFR， ∵BP＝BF，
∴△PQB≌△BRF（AAS），
∴BR＝PQ＝4﹣t，FR＝BQ＝﹣t2+t+2， ∴F（t2﹣t+2，t﹣4）， 设FR交x轴于点I， ∵tan∠OEG＝2＝tan∠OFI， ∴t﹣4＝﹣2（t2﹣t+2），
解得t＝2或t＝0（舍）， ∴P（2，3），
∴易求直线PD的解析式为y＝x+．
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