2019届高三数学北师大版大一轮复习 极速秒杀法-------椭圆经典结论
[结论1]：椭圆焦点三角形周长：PFF12周长=2a?2c,MNF2周长=4a；
x2y2??1，点A,B经过椭圆左焦点，?ABF2的周长。 [例题]：（1）椭圆31解：ABF2周长=4a=43。
x2y2??1左焦点作直线与椭圆交于AB，若AF2+BF2=12，求AB的值。 （2）过椭圆
259解：ABF2周长=4a=12+AB?AB=8。
[结论2]：焦点三角形离心率：e?F1F22c2（?=?PFF，?=?PFF）；e??1221； ???2aPF1?PF2cos2cos???x2y2[例题]：（1）过椭圆2?2?1左焦点作x轴的垂线与椭圆交于P，若?F1PF2?60，求离心率。
ab解：e?F1F22c3t3 。 ???2aPF1?PF23t3x2y2??1右焦点F2作x轴的垂线与椭圆交于A,B，若?ABF1为正三角形，求椭圆方程。 （2）过椭圆
12m30?90112-m2=2==?m?8 。 解：e????30?90323coscos22coscos（3）已知正方形ABCD，求以A，B为焦点且过C，D的椭圆的离心率。 解：e????F1F22ct???2?1 。 2aPF1?PF22t?t7，求以A,B为焦点，且过C的椭圆的离心率。 18（4）在三角形ABC中，AB=BC，cosB??2F1F225t25t2ct3?AC??e???? 。 解：AC?932aPF1?PF25t?t83x2y2（5）设以2?2?1的右焦点F2为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若F1M与圆相切，求e.
ab第 1 页
解：e?F1F22c2c???3?1。 2aPF1?PF23c?c2[结论3]：焦点三角形之夹角：SPF1F2=btan????,e??sin，1?，?=?FPF12； 2?2?x2y2[例题]：已知椭圆2?2?1的两焦点，P为椭圆上点且?F1PF2?120，求离心率取值范围。
ab?3????解：e??sin， 。 1?,?e??，1??22????x2y2b2x0x2y2a2x0[结论4]：中点弦斜率：则2?2?1?k??2 ；2?2?1?k??2；abay0baby0x2y21[例题]：(1)已知椭圆2?2?1的焦点F（0，50）被直线y=3x-2截得弦中点横坐标为，求椭圆方程。
ba2111a2y2x22解：中点（，-），c?50?k?3?-2???1。
122b?752522x2y2??1，确定m取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。 (2)已知椭圆 43?k??解：设AB中点（x0，y0）,13x0?-?y0?3x0，
44y0[结论5]：椭圆上任意不与x轴垂直弦AB中点M，O为原点，则kABkOMb22??2=e?1 ；
ax2y21[例题]：(1)过点M（1,1）作斜率为-的直线与椭圆2?2?1交于A,B两点，且M为AB中点，求离心率。
ab21b212解：kOM=1,KAB=-?kABkOM??2???e?。
2a22x2y21（2）过椭圆2?2?1的右焦点直线x?y?3?0交椭圆于A,B两点，且p 为AB中点，OP斜率为，求椭
ab2圆方程。
1b21解：kOP=-1,KAB=?kABkOM??2??2a2x2y2F（3，0）?a?6,b?3???1。
63x2y2（3）椭圆2?2?1的右焦点F(3,0),过F作直线交椭圆于A，B两点，若中点M(1,-1),求椭圆方程。
ab第 2 页
解：kABkOM119x2y222?e?1??（-1）?e?1?e?=2?a?32,b?3???1。
22a1892[结论6]：椭圆上两关于原点对称点为A，B，任意点为P，则kPAkPBb22??2=e?1 ；
a6x2y2[例题]：(1)已知椭圆2?2?1的离心率e=,过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A,B两点，且斜
3ab率分别为k1,k2，若A，B关于原点对称，求k1k2的值。
b2a2?c212?e?1??解：k1k2??2=-。
aa23x2y2??1的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且PA斜率取值范围：?-2，(2)已知椭圆-1?,直线PB的斜率取43值范围。
b23?33?解：k1k2?k??2,?1?=?2=-?k??,?。
a4?84?[结论7]：焦点弦：设通径长为H，
H2ab2H2ab2则AB= =22(焦点在x轴）；AB=22?222(焦点在y轴）；222a?ccos?a?csin?1-ecos?1-esin?y2?1焦点交椭圆于A，B两点，求AB。 [例题]：(1)已知斜率为1的直线过椭圆x?42解：AB=H8==； 22351-esin?1-sin245422x2y2??1的左焦点F1的直线叫椭圆于B，D两点，过右焦点F2的直线交椭圆于A，C两点，且(2)已知过椭圆 32AC?BD,垂足为P，求四边形ABCD的面积最小值。
解：SABCD=SABD?SBCD?[结论8]：焦半径：
119696BD?AC=?min?. 221-1cos2?1-1sin2?24?sin22?25334343b2b2b2b2；AF=(焦点在x轴）；BF?；BF?(焦点在y轴）；则AF=
a?ccos?a+ccos?a?csin?a+csin?第 3 页
x2y2[例题]：已知斜率为1的直线l过椭圆2?2?1左焦点F1交椭圆于A，B两点，其中AF2，AB，BF2成等差数
ab列，求椭圆离心率。
?4a2ab22?AF2+BF2=2AB?AB???e?解：?。
?3a2?c2cos22??AF2+BF2+AB=4a4[结论9]：焦半径之比：e?1?k2??11??1（焦点在x轴）；e?1?（焦点在y轴）; （)2??1k??1x2y2[例题]：(1)连接椭圆2?2?1右焦点F和短轴端点A交椭圆于另点B,且AF?2FB，求离心率。
ab??13?b???112?1?1??????e?解：e?1?k 。 ??13?c???1e2?1222x2y2(2)已知2?2?1的离心率e?，直线l:y=kx+1过上焦点F与椭圆交于A，B两点,若A到y轴距离是点B
2ba到y轴距离的2倍，求k。 解：e?1?（)21k??112?1214 。 ?1?（)2??k???1k2?127???1?，1?；； ???1?[结论10]：焦半径之比求离心率取值范围：椭圆：e??x2y2[例题]：已知椭圆2?2?1的两焦点，P为椭圆上点且PF1?3F2P，求离心率取值范围。
ab解：e?????1??1?，1??e??，1? 。 ???1??2?x2y2b2[结论11]：仿射变换求斜率：椭圆：2?2?1?kPAkPB??2；
abax2y2[例题]：（1）已知P是椭圆2?2?1上一点，且A，B为椭圆左右顶点，求PA，PB两直线斜率之积。
ab??x???解：??y????xa2b2a22?kPB???1?kPAkPB2?kPAkPB??2 。 ?x?+y??1,kPAybabx2y2??1上一点，且A，B为椭圆左右顶点，且PB斜率取值范围为【-2，-1】（2）已知P是椭圆，求PA斜率43第 4 页
取值范围。 解：
333kPAkPB??，-2?kPB?1??kPA? 。
484x2y2[结论12]：仿射变换求面积：椭圆：2?2?1?S?abS?；
abx2?y2?1，且A（2,0）[例题]：（1）已知椭圆，B（0,1），直线y=kx(k>0)与AB相交于D，于椭圆相交于EF，求4四边形AEBF面积最大值。
??x1?x?22????x+y?1,S??2?2?2(AB?EF）?Smax?2?1?2=22 。 解：?2max2??y??yx2y23??1，且四边形EFGH四个顶点都在椭圆上，且EG，FH过原点，若kEGkFH??，求证：（2）已知椭圆434四边形EFGH面积为定值。
??x???解：??y????x2?x?2+y?2?1,y3y1y23y1?3y2?33y1?y2????????????1,则对角线垂直 ， x1x244x1?x2?2x1?2x2?[结论13]：直线与椭圆位置关系：
x2y2??1的位置关系________。 [例题]：（1）求直线y=2x+1与椭圆
416解：1?4?4?1?16，则相交。
x2?y2?1的位置关系________。 （2）求直线x+y-3=0与椭圆4解：9?4?1?1?1，则相离。
第 5 页
相关推荐：
loading