湖南师大附中2020届高三考前模拟试卷
文 科 数 学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A??0,2?，B???2,?1,0,1,2?，则AIB?（ ） A．?0,2? B．?1,2?
C．?0?
D．??2,?1,0,1,2?
2．
1?2i1?2i?（ ） A．?43435?5i B．?5?5i
C．?345?5i D．?35?45i 3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）
A．32，34，32 B．33，45，35
C．34，45，32
D．33，36，35
4．若sin??13，则cos2??（ ） A．89
B．79
C．?79
D．?89
5．已知平面向量a,b的夹角为135?，且a?1，2a?b?2，则b?（ ）
A．2
B．2
C．3?1
D．3 6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发
展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ） A．32f
B．322f
C．1225f
D．1227f
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x???2,2?，则输出的y值的取值范围是（ ）
A．y??52或y?0 B．?2?y?23 C．y??2或0?y?23
D．y??2或y?23 8．观察下列各式：a?b?1，a2?b2?3，a3?b3?4，a4?b4?7，a5?b5?11，…， 则a12?b12?（ ） A．322
B．521
C．123
D．199
?x9．已知f(x)???2?1,x?0，若存在三个不同实数a,b,c使得f(a)?f(b)?f(c)，
??log2019x,x?0则abc的取值范围是（ ） A．?0,1?
B．??2,0?
C．??2,0?
D．(0,1)
10．设a,b,c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知?b?c?sin?A?C???a?c?
?sinA?sinC?，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为3，则uABuur??uDAuur?uDBuur?等于（ ）
A．2
B．4 C．?4 D．?2
11．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
AB?DC?AD?2，BC?PA?4，PA?面ABCD，则球O的体积为（ ）
A．
642π 162π3B．
3 C．162π
D．16π
x2y212．已知椭圆E:a2?b2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x?4y?0交椭圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线l的距离不小于
45，
则椭圆E的离心率的取值范围是（ ） A．(0,32]
B．(0,34]
C．[32,1)
D．[34,1)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．过点??2,4?且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________． 14．已知?,?为第二象限的角，cos(??π)??3，sin(??π5454)?13，则sin(???)的值____． 15．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意实数x恒有f(x)?f(?x)?0，当
x?[?1,0]时，f(x)?x2，若g(x)?f(x)?logxa在x?(0,??)上有三个零点，则a的取值范围为
_______．
16．已知实数x，y满足x2?y2?1，则2x?y?4?6?x?3y的最大值是 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）①若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
②已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．
18．（12分）已知数列?a2*n?的各项均为正数，且an?2nan?(2n?1)?0,n?N．（1）求数列?an?的通项公式； （2）若bn?2n?an，求数列?bn?的前n项和Tn．
19．（12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB?2AD?2，
PD?BD?3AD，且PD?底面ABCD．
（1）证明：BC⊥平面PBD；
（2）若Q为PC的中点，求三棱锥A?PBQ的体积．
2220．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
xa2?yb2?1(a?b?0)的离心率为22，右焦点到直线x?a2c的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点（点P不在y轴上），过点O作OP的垂线交直线y?2于点Q，
求1|OP|2?1|OQ|2的值．
21．（12分）已知函数f?x??2x3?3?a?1?x2?6ax?a2?1．
（1）设?1?a?1，曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值； （2）若f?x?只有一个零点，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?kx?2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C22的极坐标方程为??2?cos??3?0． （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
23．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知函数f?x??2x?1?x?1． （1）求不等式f?x??4的解集；
（2）设函数f?x?的最小值为m，当a，b，c?R?，且a?b?c?m时，求2a?1?2b?1?2c?1的最大值．
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