面面垂直的判定
一、考点突破 知识点 课标要求 1. 理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角； 面面垂直的判定 2. 掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角； 3. 掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。
二、重难点提示
重点：平面和平面垂直的判定。 难点：二面角的理解及度量。
考点一：二面角 1. 半平面
平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。 2. 二面角
（1）定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
（2）画法：
选择题 填空题 解答题 面面垂直的定义及判定定理，是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础。所以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，有非常重要的作用。 题型 说明 直立式 平卧式
（3）记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. （4）二面角的平面角：
如图：二面角α－l－β
若有①O∈l；②OA∈α，OB∈β；③OA⊥l，OB⊥l，
1
则二面角α－l－β的平面角是∠AOB。
考点二：两个平面垂直的判定 1. 直二面角及两平面垂直的概念
平面角是直角的二面角叫做直二面角，这时我们说这两个平面互相垂直，记作α⊥β。
2. 平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其图形语言和符号语言如下：
AB??,AB??????
例题1 （用判定定理证明面面垂直）
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
思路分析：由C是圆周上异于A，B的点―→AC⊥BC―→由PA垂直于⊙O所在的平面―→PA⊥BC―→BC⊥平面PAC―→平面PAC⊥平面PBC。
答案：证明：连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥面PBC。
技巧点拨：证明面面垂直的方法有：面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A—PC—B的平面角不好找，故用判定定理，而用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找（作）一条直线与另一个平面垂直。
例题2 （用定义法求二面角）
如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD。
2
（1）求二面角B－PA－D平面角的度数； （2）求二面角B－PA－C平面角的度数。
思路分析：先依据二面角的定义找相应二面角的平面角，然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值，最后求出二面角的平面角的大小。
答案：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA， ∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角， 又由题意∠BAD＝90°，
∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°； （2）∵PA⊥平面ABCD， ∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角， 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°，
即二面角B－PA－C平面角的度数为45°。 技巧点拨：求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”。
转化思想在线面、面面垂直中的应用
【满分训练】（杭州）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，
PA＝PC＝2a，求证：
（1）PD⊥平面ABCD； （2）平面PAC⊥平面PBD；
（3）二面角P－BC－D是45°的二面角。
思路分析：解答本题第（1）（2）问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定；第（3）问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45°。
答案：证明：（1）∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，
3
∴PC＝PD＋DC， 则PD⊥DC， 同理可证PD⊥AD，
又∵AD∩DC＝D，且AD，DC?平面ABCD， ∴PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD， 又∵AC?平面ABCD，∴PD⊥AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，
又∵BD∩PD＝D，且PD，BD?平面PBD， ∴AC⊥平面PBD， 又∵AC?平面PAC， ∴平面PAC⊥平面PBD； （3）由（1）知PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线， ∴BC⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，∴BC⊥PC，
则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角， 在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a， ∴∠PCD＝45°，
即二面角P－BC－D是45°的二面角。 技巧点拨：
1. 本题（1）（2）问涉及线面垂直和面面垂直，求解的关键是转化思想的应用，即“线线垂直?线面垂直?面面垂直”。
2. 突出二面角求解过程中的“作—证—解—答”的思想。
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