当a>1
2时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，
在(0，ln(2a))上单调递减， 在(ln(2a)，＋∞)上单调递增， ∴f(x)有2个极值点，
综上所述，当a≤0时，f(x)有1个极值点； 当a>0且a≠1
2时，f(x)有2个极值点；
当a＝1
2
时，f(x)没有极值点．
(2)由f(x)＋ex≥x3＋x，得xex－x3－ax2
－x≥0. 当x>0时，ex－x2
－ax－1≥0， ex－x2
即a≤－1x对?x>0恒成立．
ex－x2
设g(x)＝－1x(x>0)，
x则g′(x)＝?x－1??e－x－1?x2. 设h(x)＝ex－x－1(x>0)，则h′(x)＝ex－1. ∵x>0， ∴h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴h(x)>h(0)＝0，即ex>x＋1，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2； 当x＝0时，原不等式恒成立，a∈R； 当x<0时，ex－x2
－ax－1≤0， 设m(x)＝ex－x2
－ax－1(x<0)， 则m′(x)＝ex－2x－a.
设φ(x)＝ex－2x－a(x<0)，则φ′(x)＝ex－2<0， ∴m′(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴m′(x)>m′(0)＝1－a， 若a≤1，则m′(x)>0， ∴m(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴m(x) 若a>1，∵m′(0)＝1－a<0， 5 ∴?x0<0，使得x∈(x0,0)时，m′(x)<0， 即m(x)在(x0,0)上单调递减， ∴m(x)>m(0)＝0，不符合题意，舍去． ∴a≤1. 综上，a的取值范围是(－∞，e－2]． 6．[2019·贵阳市普通高中高三年级摸底考试]已知函数f(x)＝xln x－ax＋a(a∈R)． (1)f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋t，求a和t的值； (2)对任意的x>1，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)函数定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－a， 由已知f′(1)＝－1，则1－a＝－1，即a＝2， 所以f(1)＝0－2＋2＝0，将(1,0)代入切线方程有t＝1， 所以a＝2，t＝1. (2)对任意x∈(1，＋∞)，f(x)≥0恒成立， 即ln x＋－a≥0恒成立， 令g(x)＝ln x＋－a，有g′(x)＝ axaxx－a， x2 ①当a>1时，g(x)，g′(x)随x的变化情况为 x g′(x) g(x) (1，a) － 单调递减 a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ 单调递增 由表可知g(x)min＝g(a)＝ln a＋1－a， 1－x又因为在函数h(x)＝ln x＋1－x中，h′(x)＝， x所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以h(x)≤h(1)＝0， 所以g(x)min＝g(a)＝h(a) ②当a≤1时，g′(x)＝ axx－a≥0，则g(x)在[1，＋∞)上单调递增， x2 ax所以g(x)≥g(1)＝0，即对任意x∈(1，＋∞)，ln x＋－a≥0恒成立， 故a≤1满足题意， 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1]． 6
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