1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由x?x知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是{xx?R,x?1},而函数g(x)的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须
2?4?x?0??x?0 即
所以函数的定义域是(??,0)U(0,4].
(2)要使函数有意义,必须
?x?4??x?0
?x?3?0??lg(1?x)?0?1?x?0? 即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
?x??3??x?0?x?1?
x2?1?0 即 x??1
所以函数的定义域是(??,?1)U(?1,1)U(1,??).
(4)要使函数有意义,必须
11??sinx??1?2sinx?1 即 22
ππ5π7π??2kπ?x??2kπ?2kπ?x??2kπ66即6或6,(k为整数).
ππ??kπ?x??kπ6也即6 (k为整数).
ππ[??kπ,?kπ]6所以函数的定义域是6, k为整数.
13.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当x?0时,x可以是不为零的任意实数,此
1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 时,
11?1x?x?1.f()?1?(?x)1?x1?0?,x1?1x?1f(0)??1f(?x)?1?(?x)1?x1?0x4. 解: , ?1?x?1?0?1,0?x?1?1,f(x?1)????.(x?1)?1,0?x?1?2x,1?x?3??5.解:
6.解: f(g(x))?2g(x)?2xlnx,
精选
g(f(x))?f(x)lnf(x)?2x?ln2x?(xln2)?2x,
f(f(x))?2f(x)?22,g(g(x))?g(x)lng(x)?xlnxln(xlnx).
3y?2x?1解得7. 证:由
xx?3y?12, 故函数f(x)?2x?1的反函数是
3y?3x?1(x?R)g(x)?2,这与
3x?12是同一个函3f(x)?2x?1和数,所以
1?y1?xx?y?1?y, 1?x解得8. 解: (1)由
1?x1?xy?y?(x??1)1?x1?x所以函数的反函数为.
y?1(2)由y?ln(x?2)?1得x?e?2,
g(x)?3x?12互为反函数.
x?1y?e?2 (x?R). y?ln(x?2)?1所以,函数的反函数为
1(log3y?5)2x?5y?32(3)由解得
1y?(log3x?5) (x?0)2x?52所以,函数y?3的反函数为.
x?3y?1?cosx得cosx?3y?1,又x?[0,π],故x?arccos3y?1. (4)由
3又由?1?cosx?1得0?1?cosx?2,
3y?1?cosx,x?[0,π]的反函0?y?2即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3数为y?arccosx?1 (0?x?2).
9. 解: (1)Qf(?x)?1?(?x)?1?(?x)?1?x?1?x?f(x)
?f(x)?1?x?1?x是偶函数.
?2x2x?2x2x2x?2xQf(?x)?e?e?sin(?x)?e?e?sinx??(e?e?sinx)??f(x) (2)
2x?2x?函数y?e?e?sinx是奇函数.
x?02x?01?x10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当x?0时,有
xx1??21?x2x2,
1xy?y?2.即函数1?x2有上界. 故?x?(??,??),有
xy?1?x2为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函又因为函数
xy?1?x2有界. 数必有下界,因而函数
精选
x1x2(x1?x2)(1?x1x2)??22221?x1?x(1?x)(1?x1212)知,当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2,而 又由
当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2.
y1?y2?故函数
(2)函数的定义域为(0,+∞),
y?x1?x2在定义域内不单调.
Q?M?0,?x1?0且x1?M;?x2?eM?0,使lnx2?M. 取x0?max{x1,x2},则有x0?lnx0?x1?lnx2?2M?M,
所以函数y?x?lnx在定义域内是无界的. 又当0?x1?x2时,有x1?x2?0,lnx1?lnx2?0
故y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?(lnx1?lnx2)?0. 即当0?x1?x2时,恒有y1?y2,所以函数y?x?lnx在(0,??)内单调递增.
2y?(1?x)y?u,u?1?x11. 解: (1)是由复合而成. 22(2)y?sin(1?2x)是由y?u,u?sinv,v?1?2x复合而成.
12414(3)y?(1?10?x5)是由y?u,u?1?v,v?10w,w??x5复合而成.
12121?11?arcsin2x是由y?u,u?1?v,v?arcsinw,w?2x复合而成. (4)
12.证: (1)设F(x)?f(x)?f(?x),则?x?(??,??), y?有F(?x)?f(?x)?f(x)?F(x) 故f(x)?f(?x)为偶函数.
(2)设G(x)?f(x)?f(?x),则?x?(??,??),
有G(?x)?f(?x)?f(?x)??[f(x)?f(?x)]??G(x) 故f(x)?f(?x)为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;
106106106?0.052xx2x又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.
106?0.053y?10x?2x设总费用为,则. xxxx[]?y??0.80?20时,邮资2025; 14. 解: 当x能被20整除,即20?x?xxy???1??0.80]??20?20时,由题意知邮资当x不能被20整除时,即20.
?x?x?x,0?x?2000且?;????25?20?20y????x?1??0.80,0?x?2000且?x??x.???20???20??20 ??综上所述有
[精选
?x??x?xx?1?1????2020????其中,分别表示不超过20,20的最大整数.
ex?e?xy?sinhx?2xxe?2ye?1?0 215. 证: (1)由得
x22xxe?y?1?ye?2ye?1?0解方程得, x22e?y?1?yx?ln(y?1?y) 因为e?0,所以,x所以y?sinhx的反函数是y?arcsinhx?ln(x?1?x) (???x???).
2ex?e?xe2x?1?y2x?ln1?y,x?1ln1?yy?tanhx?x?x1?y,得1?y21?y; e?e得(2)由
1?y?0又由1?y得?1?y?1,
所以函数y?tanhx的反函数为
11?xy?arctanhx?ln (?1?x?1).21?x
11S0?h(AD?BC)?h(2hcot??BC?BC)?h(BC?hcot?)2216. 解: SBC?0?hcot?h从而 .
L?AB?BC?CD (AB?CD)?2Shh?BC?2?0?hcot?sin?sin?hS0o?hcot??0(0,Stan40)0h由得定义域为.
n?1(1)xn?,n?1当n??时,xn?1. 17. 解:
n?1(2)xn?ncosπ2,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于??,趋向于0,趋向于??.
2n?1(3)xn?(?1)n2n?1,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
1nπ11x?0????sinn?n(1)a?limxn?0nn2n???.取18. 解: ,???0,要使,只须
?1?N??????,则当n?N时,必有xn?0??. h?0,BC??1?N???1000??0.001?当??0.001时,或大于1000的整数.
S02?cos?S02?cos40o??h??hhsin?hsin40o
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