历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(2)

19．设正△ABC的边长为a，将△ABC绕它的中心（正三三角形外接圆的圆心）旋转60°得到对应的△A′B′C′，则A，B′两点间的距离等于 。 2007年浙江省初中数学竞赛试题

MF∥AD，则FC的长为______．

20．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题 答案: 9

21. △ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题

16答案: 3；

22．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的两点，且AM?5，?MAN?135?，则四边形AMCN的面积为______

2008年全国初中数学联合竞赛试题 答案: 5/2

详解: 设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO?BD，AO?OB?2, 2MO?AM2?AO2?(5)2?(

又?ABM??NDA?135?，

2232, ∴MB?MO?OB?2. )?22?NAD??MAN??DAB??MAB?135??90???MAB?45???MAB??AMB， ADDNAD?，从而DN??BA?MBBAMB根据对称性可知，四边形AMCN的面积

112S?2S△MAN?2??MN?AO?2??(?2?2)?222所以△ADN∽△MBA，故

12. ?1?2225?. 22

23． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题

答案: 2mn

24．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G

AH两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ．

AB “《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题

答案: 1/3

详解: 如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．

由题设知AC?11AD，AB?AE，在△FHA和△EFA中， 33?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，

AHAF? . AFAE而AF?AB，所以

AH1?. AB3

25．如图，在△ABC中，CD是高，CE为?ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题 答案:

602． 7详解: 如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且?ACB?90?． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由?ECF?20－x．由于EF∥AC，所以

1?ACB?45?，得CF＝x，于是BF＝2 即

EFBF?， ACBCx20?x?， 1520解得x?60602．所以CE?2x?． 77

26．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则

AE? ． AD “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题 答案:

详解: 见题图，设FC?m,AF?n．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 AB2?AF?AC． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 m2?n(n?m)，即 ()2?5?1 2

nmn?1?0， mn5?1n?5?1，或?（舍去）． ?m2m2AEAEAFn????又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以

ADBCFCm解得

AE5?15?1， 即=．

AD22