1.1库仑定律和电场强度

式中?为电荷的面密度，由公式可知，无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。

平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成，其间场强为E?，则由场强叠加原理可知

E??4?k?

③均匀带电球壳的场强

有一半径为R，电量为Q的均匀带电球壳，如图1-1-4。由于电荷分布的对称性，故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性，因此可在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面1而言：

2??E?4?r?4?k?qi?0,E?0；

对高斯面2：

21??E?4?r?4?k?qi?4?kQ,E?2kQr图1-1-4

。

o??r?RE??kQ2??r r?R

④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上，如图1-1-4， 对高斯面1，

33??E?4?r?4?k?qi?4?k2rRQ,E?kQrR3；

对高斯面2，

??E?4?r?4?k?qi?4?kQ,E?2kQr2。

?kQr?RE??kQ??r

32r?Rr?R

⑤电偶极子产生的电场

真空中一对相距为l的带等量异号电荷的点电荷系统??q,?q?，且l远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q与两点电荷间距l的乘积定义为电偶极矩。

a.设两电荷连线中垂面上有一点P，该点到两电荷连线的距离为r，则P点的场强如图1-1-5所示，其中

E?E??E??k2qr?l2E?4

E?rlE?2E?cos??2k2qr?l2?22r?l2??ql/2l/2q44

图1-1-5

?k2ql(r?l23?kqlr3

4)2

b.若P?为两电荷延长线上的一点，P?到两电荷连线中点的距离为r，如图1-1-6所示，则

ql???r??2??2E??k,E??kql???r??2??2,

????11?E?E??E??kq??22??l?l????r?????r??22?? ?????2?2q??l?l????k2??1????1???r?2r2r???????

?ql/2?qP?E?E?l/2r图1-1-6

?k

q?ll?1??1???2r?rr?

ET

?k2qlr3

E??TE//c.若T为空间任意一点，它到两电荷连线的中点的距离为r，如图1-1-7所示，则ql?在T点产生的场强分量为

?q?qE??kql?r3?k2qlsin?r3图1-1-7

，

由ql//在T点产生的场强分量为

2ql//r3E//?k?k2qlcos?r3

故

ET?E??E//?k22qlr33cos??1,2

tan??E?E//?sin?2cos??12tan?

例2、如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内（y，z方向无限延伸）均匀分布着密度为

?的正电荷，此外均为真空

（1）试求

x≤d处的场强分布；

（2）若将一质量为m，电量为??的带点质点，从x=d处由静止释放，试问该带电质点经过多长时间第一次到达x=0处。

解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y、z方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱体，底面积为S，高为2x，左、右底面在x轴上的坐标分别是-x和x，如图1-1-8所示。可以判断圆柱体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x轴方向和顺x轴方向。再根据高斯定理，便可求出坐标为x处的电场强度。

（

1

）

根

据

高

斯

定

律

?d2xPOSEdxE?2S?4?k???S?2x。坐标为x处的场强：

图1-1-8

E?4?k?x（x≤d），x＞0时，场强与x轴同向，x＜0时，场强与x轴反向。

（2）若将一质量为m、电量为?q的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：

F??qE??4?k?qx（x≤d）

显然质点所受的电场力总是与位移x成正比，且与位移方向相反，符合恢复力的特点。质点在电场中的运动是简谐振动，振动的周期为

T?2?m4?k?q??mk?q

当质点从x=d处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为

t?T4?T4?mk?q

练习1：有两根光滑的绝缘杆，可在同一竖直平面内绕O点转动。两杆上各穿着一个质量为m、电量为q的小球。两杆与水平面夹角都等于θ时，两球在同一水平面上处于静止状态，如图1-1-9所示。现使两杆同时绕O点转动，此时小球在杆上的位置随之改变。问θ取何值时，小球到O点的距离l为最小值？

分析：杆转得缓慢意味着小球在每一个位置上都处于合力为零的平衡状态。运用三个共点力的平衡条件，可以得到l与θ之间的关系，从函数式去研究l的最小值应该是不难的。