第6课__排列、组合的综合问题____ 1. 理解排列、组合的概念，能利用排列数、组合数的计算公式解决简单的实际问题． 2. 以实际问题为背景，正确区分排列与组合，合理选用排列与组合公式进行解题.
1. 阅读：选修23第11～29页． 2. 解悟：①排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列，而组合只要取出元素并成一组即可，与顺序无关；②有关排列、组合的混合问题，解题应遵循先选后排的原则；③解决有限制条件的排列问题最基本的方法是特殊(元素)优先法、捆绑法、插空法等． 3. 践习：在教材空白处，完成第17页习题第2题，第21页练习第3题，第 29页习题第4、5题.
基础诊断
1. 某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购书方案有________种．
2. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
3. 一天的课有6节，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理6节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在上午，微机必须安排在下午，有________种不同的排课方法．
4. 用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的四位数，然后把它们从小到大排成一列，则3 145是这个数列的第________项．
范例导航 考向 区分排列与组合，合理选用公式 例1 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1) 分给甲、乙、丙三人，每人2本； (2) 分为三份，每份2本；
(3) 分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； (5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
1
有编号为1，2，3，4的4张不同卡片，按照下列方案处理，各有多少种不同的方法？ (1) 甲得两张，乙得两张； (2) 平均分成两堆，每堆两张． 考向 利用分类(分步)计数原理及排列、组合数公式解题 例2 (1) 7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
(2) 计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组？ (3) 计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组？
有8名师范大学毕业生被分配到A，B，C，D这四所中学任教，每校2人，其中甲、乙两人不得分配到A中学去，则不同的分配方法有多少种？
考向 综合利用两个计数原理解题 2
例3 7人站成一排，按下列情况各有多少种不同的排法？ (只列式不计算) (1) 要求甲不在排头；
(2) 要求甲，乙，丙三人相邻； (3) 要求甲，乙，丙三人不相邻； (4) 要求甲在乙前面；
(5) 第一排坐3人，第二排坐4人．
8个人(其中含有甲、乙两人)站成一排，甲、乙之间正好相隔2人，有多少种不同排法？
自测反馈
1. 4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒子里，恰有一个空盒的放法种数为________．
2. 电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，有________种不同播出方案．
3. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻放入的方法种数是________．
4. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人
3
中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙2工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙2工人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．
1. 排列与顺序有关，组合只要取出元素即可，与顺序无关．
2. 在解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．分类要做到“不重不漏”；分步要做到“步骤完整”．
3. 你还有哪些体悟，写下来：
4
第6课 排列、组合的综合问题
基础诊断
1. 7 解析：根据题意分3种情况讨论，一是买1本，则购书方案有C13＝3(种)；二是买
2
2本，则购书方案有C2三是3本全买，有1种购书方案．综上共有C13＝3(种)；3＋C3＋1＝7(种)购书方案．
2. 48 解析：由题意，末尾是2或4，前3位在其余4个数中选出3个排列，根据分步
3
乘法原理可得C12A4＝48.
3. 156 解析：分两种情况讨论，第一种情况，上午第一节安排数学，微机安排在下午
4
共有A12A4＝48(种)；第二种情况，上午第一节课不安排数学，也不能安排体育和微机，则这
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节课只有3种排法，数学只能安排在上午2，3，4节课，微机安排在下午，故共有3A13A2A3＝108(种)排法，一共有156种方法．
4. 125 解析：由题意可知，1为首位的四位数有1×5×4×3＝60(个)；2为首项的四位数有1×5×4×3＝60(个)；3为开头时，以312为开头有3个，以314为开头有3个，分别为3 142，3 145，3 146，60＋60＋3＋2＝125(项)，3 145为第125项．
范例导航
222
例1 解析：(1) C6C4C2＝90(种)． 22
C26C4C2(2) ＝15(种)．
A33
23
(3) C16C5C3＝60(种)．
233
(4) C16C5C3A3＝360(种)．
11
(5) 有3类情况，拿4本，1本，1本的情况为C1都拿2本，90种情况；6C5C3＝90(种)；
拿3本，2本，1本，有360种情况．综上共有90＋90＋360＝540(种)．
2
解析：(1) C24C2＝6(种) (2)
2
C24C2＝3(种) A22
例2 解析：(1) 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3
个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：
①某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有1C4种不同的放法；
②这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C34种不同放法；
③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A24种不同的方法．
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综上可知，满足题设条件的放法为C14＋C4＋A4＝20(种)．
(2) 可看作将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法. 转化为6个0，2个1的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有C25＝10(种)排法，因此方程x＋y＋z＝6有10组不同的正整数解．
(3) 可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为6个0，2个1的排列，共有C28＝28(种)排法，因此方程x＋y＋z＝6有28组不同的非负整数解．
222
解析：C26C6C4C2＝1 350(种)．
例3 解析：(1) 方法一：(从特殊元素甲考虑)先在除排头外6个座位安排给甲，剩下
6
的6人全排列，所以站法有C16A6种．
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