高等数学第七版下册复习纲要

第七章：微分方程

一、微分方程的相关概念

1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.

通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.

3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：g(y)dy?f(x)dx.

(2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤

①. 分离变量，将方程写成g(y)dy?②. 两端积分：

f(x)dx的形式；

?g(y)dy??f(x)dx，得隐式通解G(y)?F(x)?C；

③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法

(1).方程的形式：

dy?y?????. dx?x?(2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤

ydydu，有y?ux及； ?u?xxdxdxdu②．代入原方程得：u?x??(u)；

dxdudx?③．分离变量后求解，即解方程；

?(u)?ux①．引进新变量u?④．变量还原，即再用

y代替u. x3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式：

dy?P(x)y?Q(x). dxdy一阶齐次线性微分方程:?P(x)y?0.

dx一阶非齐次线性微分方程:

dy?P(x)y?Q(x)?0. dx1

(2).一阶齐次线性微分方程

dy?P(x)y?0 的解法: 分离变量法. dx通解为

y?Ce??P(x)dx,(C?R).(公式)

(3).一阶非齐次线性微分方程

对方程

dy?P(x)y?Q(x)?0的解法: 常数变易法. dxdy?P(x)y?Q(x)，设y?u(x)e??P(x)dx为其通解，其中u(x)为未知函数， dx?P(x)dxdy从而有 ?u?(x)e??u(x)P(x)e??P(x)dx，

dx代入原方程有 u?(x)e?P(x)dx??u(x)P(x)e??P(x)dx?P(x)u(x)e??P(x)dx?Q(x)，

整理得 u?(x)?Q(x)e两端积分得 u(x)??P(x)dx，

?P(x)dx?Q(x)edx?C，

再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解

y?e??P(x)dx(Q(x)e?P(x)dxdx?C)?Ce??P(x)dx?e??P(x)dxQ(x)e?P(x)dxdx，(公式)

??即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.

第八章：空间解析几何与向量代数

???一、向量 a?(xa,ya,za),b?(xb,yb,zb),c?(xc,yc,zc)

?????与b?(xb,yb,zb)的数量积：a?b?abcos??xaxb?xbyb?zazb；

???ijk????2. 向量a?(xa,ya,za)与b?(xb,yb,zb)的向量积：a?b?xayaza.

xbybzb??????a?b?absin?的几何意义为以a,b为邻边的平行四边形的面积. ?1.向量a?(xa,ya,za)3. 向量r??(x,y,z)的方向余弦：

cos??xx?y?z222,cos??yx?y?z222,cos??yx?y?z222，

cos2??cos2??cos2??1；sin2??sin2??sin2??2. ?4. 向量a?(xa,ya,za)?与b?(xb,yb,zb)垂直的判定：

????a?b?a?b?0?xaxb?xbyb?zazb?0.

?5. 向量a?(xa,ya,za)

?与b?(xb,yb,zb)平行的判定：

2

?xxz??????a//b?a?b?0?a?kb,k?0?a?b?a?k.

xbybzb???????6. 三向量共面的判定： ka?mb?nc?0?a,b,c共面.

?????a?bxaxb?xbyb?zazb?b?7. 向量a?(xa,ya,za)在b?(xb,yb,zb)上的投影：Prja??222axa?ya?za二、平面

1. 过点P(x0,y0,z0)，以n.

??(A,B,C)为法向量的平面的点法式方程：

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0.

2. 以向量n??(A,B,C)为法向量的平面的一般式方程：Ax?By?Cz?D?0.

3. 点M(x1,y1,z1)到平面

Ax?By?Cz?D?0的距离d?Ax1?By1?cz1?DA?B?C222错误！未找到引用源。.

4. 平面?1:A1x?B1y?C1z?D1?0与?2:A2x?B2y?C2z?D2?0平行的判定：

?1//?2?n1//n2?5. 平面?1??A1B1C1D1???A2B2C2D2.

:A1x?B1y?C1z?D1?0与?2:A2x?B2y?C2z?D2?0垂直的判定：

?16. 平面?1????2?n1?n2?A1A2?B1B2?C1C2?0.

:A1x?B1y?C1z?D1?0与?2:A2x?B2y?C2z?D2?0的夹角：

cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A?B?C212121222222

三、直线

1. 过点P(x0,y0,z0)，以s??(m,n,p)为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：

.

x?x0y?y0z?z0??mnp?x?x0?tm??2. 过点P(x0,y0,z0)，以s?(m,n,p)为方向向量的直线的参数式方程：?y?y0?tn.

?z?z?tp0??A1x?B1y?C1z?D1?0???3. 直线的一般式方程：?.方向向量为s?n1?n2.

?A2x?B2y?C2z?D2?04.直线方程之间的转化： i) 点向式?参数式

3

ii) 一般式?点向式 第一步：找点 第二步：找方向向量s????n1?n2

平行的判定：

5. 直线L1:x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2与L2:????m1n1p1m2n2p2 L1??mnp//L2?s1//s2?1?1?1m2n2p2.

6. 直线L1:x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2与L2:????m1n1p1m2n2p2垂直的判定：

??L1?L2?s1?s2?m1m2?n1n2?p1p2?0.

7. 直线L1:x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2与L2:????m1n1p1m2n2p2cos??m1m2?n1n2?p1p2m?n?p?m?n?p212121222222的夹角：

.

x?x0y?y0z?z0??与平面?:Ax?By?Cz?D?0垂直的判定： lmn??lmnL???S//N???.

ABCx?x0y?y0z?z0??9. 直线L:与平面?:Ax?By?Cz?D?0平行的判定： lmn??L//??S?N?Al?Bm?Cn?0.

8. 直线L:10. 直线L:x?x0y?y0z?z0??与平面?:Ax?By?Cz?D?0的夹角： lmnsin??Am?Bn?CpA?B?C?m?n?p222222.

?PM?s?A1x?B1y?C1z?D1?011.点P(x0,y0,z0)到直线?的距离：d??sAx?By?Cz?D?0222?2四、曲线、曲面 1.

，其中M是直线上任意一点，s????n1?n2.

yoz平面上的曲线C：f(y,z)?0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为

S2.空间曲线C：?：

f(?x2?y2,z)?0.

?F(x,y,z)?0关于xoy平面上的投影柱面方程为：H(x,y)?0；

?G(x,y,z)?0 4