考研数学真题及解析 ?
?? 1 ? 1
3 2 ? 1 ?
【答案】a ? 2;Q ? ? 0
? 3 ?
1 ? 1 3 2 ?
【解析】
T
?
1 ???6 ?2 ???
, f x ? Qy ? 3y 2 ? 6 y 2
1 2 6 ???1 ???6 ???
??? 2 1 ?4 ??
f (x , x , x ) ? X AX ，其中 A ? 1 ?1 1 ?1 2 3 ?? ?4 1 a ??
? ??
由于 f (x , x , x ) ? X T AX 经正交变换后，得到的标准形为?y2 ? ? y2 ，
1 2 3
?
1 1 2 2
2 1 ?4 故r( A) ? 2 ?| A |? 0 ? 1 ?1 1 ? 0 ? a ? 2 ，
?4 1 a
??? 2 1 ?4 ??
将a ? 2 代入，满足r( A) ? 2 ，因此 a ? 2 符合题意，此时 A ? 1 ?1 1 ，则
? ?? ? ?4 1 2 ??? ??
?? 2
| ?E ? A |?
?1
4
?1 4
??1
?1 ? 0 ??1 ? ?3,?2 ? 0,?3 ? 6 ，
?1 ?? 2
?1 ??? ?
由(?3E ? A)x ? 0 ，可得A 的属于特征值-3 的特征向量为? ? ?1；
1 ? ???1 ??? ??1??? ???
由(6E ? A)x ? 0 ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为? ? 0 ?
2 ? ???1 ??? ??1 ?????
由(0E ? A)x ? 0 ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为? ? 2 ?
3 ? ??? ???1 ??
??? ? ?3 ?
令 P ? ??,? ,? ? ， 则 PAP ? ， 由于?,? ,? 彼此正交， 故只需单位化即可： 6
1 2 3 1 2 3 ? ? ? ??0
? ??
?1
考研数学真题及解析 ?
?1 ??
1
3
T
?1, ?1,1?,? 2??
1
2 1
3 1 3 1 3
T
??1, 0,1?,? 3??
1
6
?1, 2,1?T
,，
??
? ?
Q 则 ? ??? ?? 1 ?2 ?3 ?
? ??
?
x?Qy
1 ? 2 0 1 2
1 ???6 ?? 2 ?
? ?3 ??? ??
6 ?? ， Q AQ ? ? 6 ?? ??? 0 ? ??1 ??
6 ???
T
f ? ? 3y2 1 ? 6 y2 2
（22）（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? ，
1
Y 的概率密度为 f ( y) ?
??0, ?其他 (?) 求 P(Y ? EY )
?2 y，0 ? y ?1
2
(?) 求 Z ? X ? Y 的概率密度。
【答案】(I)P{Y ? EY} ? ; (II) f (z) ? ??Z
4
【解析】
9 z, 0 ? z ? 1
z ? 2, 2 ? z ? 3 ??
1 2(?)E(Y ) ? ?y2 ydy ?
0 3 2
2 4
3
P(Y ? EY ) ? P(Y ??) ? ??2 ydy ??
0 3 9
(?)Fz (Z ) ? P(Z ? z) ? P( X ? Y ? z)
? P( X ? Y ? z, X ? 0) ? P( X ? Y ? z, X ? 2) ? P(Y ? z, X ? 0) ? P(Y ? z ? 2, X ? 2) 1 1
? P(Y ? z) ? P(Y ? z ? 2) 2 2
（1） 当 z ? 0, z ? 2 ? 0 ，而 z ? 0 ，则 Fz (Z ) ? 0 （2） 当 z ? 2 ? 1, z ? 1, 即 z ? 3 时， Fz (Z ) ? 1
考研数学真题及解析 1 2
z 2 1
（4）当1 ? z ? 2 时， F (Z ) ?
z 2 1 1
（5）当2 ? z ? 3时， F (Z ) ? ? (z ? 2)2
z
2 2
?0 z ? 0 ? 1
? z2 , 0 ? z ? 1 ? ? 21 所以综上 F (Z ) ? ,1 ? z ? 2
??z ??2 ? 1 1 2
? 2 ? 2 (z ? 2), 2 ? z ? 3 ??
（3）当0 ? z ? 1 时， F (Z ) ? z
?1 , z ? 3 ? 所以 f (Z ) ? ?F (Z )?' ? ?z 0 ? z ? 1
?z z
z ? 2 2 ? z ? 3 ??
（23）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量?是已知的，设n 次测量结果 X , X ??? X 相互独立且均服从正态分布 N (?,?2 ) 。该工程
1 2 n
师记录的是n 次测量的绝对误差 Zi ??Xi ? ?(i ? 1, 2,???n) ，利用 Z1 , Z2 ??? Zn 估计?。
(?) 求 Zi 的概率密度； (?) 利用一阶矩求?的矩估计量
【答案】
?
z2
? ? 2???2e , z ? 0
; (I) ) fi Z (z) ? 2?? ??
?0,
其他 ??
1 ?n ?
?(II) )矩估计?= n 2 i?1 X i ??; ? 1 n?2(III) )最大似然估计：?= ?( X i ??) n i?1 2?
考研数学真题及解析
【解析】(?)Fz (z) ? P(Zi ? z) ? P( Xi ? ? ? z)
i
当 z ? 0, F (z) ? 0 z
i
当 z ? 0, Fi z (z) ? P(?z ? Xi ? ?? z) ? P(?? z ? Xi ? ?? z) ? FX (?? z) ? F (?? z) 当 z ? 0 时，
? fzi (z) ? Fz i (z)???
'
? fx (?? z) ? fx (?? z) ?
1 e 2???z2 ? 2 2?1 ? e 2???z2 ? 2?2 2 ? e 2???z2 ? 2?2
z2 2 ? 2?? 2 , z ? 0 ???e 综 上 fz (z) ? ??2???i
?0 , z ? 0 ??
?
(?)E ?Zi ? ?????2?? 2???0 2
? ??
?? 0
2 z e 2???? z2?
2 2?dz ??????0
1 ?2 ?2 2
e dz
2???z2
2 e d (??z ) ??2? ?
2?2 2? 2 z2 2????2 ??令 E(Z ) ? Z i
Z ?
1 n 1 Z ???i ? ?X i?
n i?1 n i?1
n
由此可得?的矩估计量???
?^
??1 n
2 n i?1
??X? ??i
对总体 X 的 n 个样本 X1 , X 2 , ???X n ，则相交的绝对误差的样本Z1, Z2 ,???Zn , Zi ? xi ? u , i ? 1, 2...n, 令其
样本值为 Z1, Z2 ,???Zn , Zi ??xi ? u n
2? Zi ?n ? 2 ? i?1 ???2? 2
e则对应的似然函数 L(?) ? ?? ? , Z1 , Z2 ,???Zn ? 0
?? 2??????0 , 其他
两边取对数，当 Z1 , Z2 ,???Zn ? 0 时
ln L(?) ? n ln 2 1 n 2? ?Zi
2
2???2? i?1
考研数学真题及解析
n 2
d ln L(?) n 1 ?Z ? 0 令 ? ? ?3 i
d? u ?i?1
所以，?? ?
1 n 2 ??1 n ( X ? u) 2 为所求的最大似然估计。 Z ????i i n i?1 n i?1
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