质数合数、约数倍数
知识框架
一、 质数与合数
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数；
除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.
二、 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，
2
K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p的平方数p，我们可以先找一个大于且接近
如没有能够除尽的那么p就为质数.
例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是1212?144?质数.
常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．
三、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； 被排除在约数与倍数之外(4)0． 求最大公约数的方法1.
分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．?
22
21?3?7(231,252)?73252?2?? ；，例如：，所以11??3?723112218短除法：先找出所有共有的约数，
然后相乘．例如： ?(12,18)?2?3?6； ，所以63932? 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：；；28513152315?600?1515?600? ；；；所以1515和600的最大公约数是15．030?15915?2?315285?130?28530?
2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
nn．，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以③几个数都乘以一个自然数 3. 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的b即为所求． 分子的最大公约数b； a4. 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
四、 倍数的概念与最小公倍数
1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数
2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法； ?
??22227252?2?3??7?11?2231,252??32772；，，所以 例如：113?231??7 短除法求最小公倍数；
21812??；，所以 例如： 36??3?18,122?2?369332a?b． ?b][a,①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
a；求出各个分数分母的最大公约数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数b155[3,5]3即为所求．例如： ； ??[,]b
(a,b)3. 最小公倍数的性质
注 4(4,12)412a??1,441???4,?例如：
意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.????倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的；
2,323??5.
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
五、 最大公约数与最小公倍数的常用性质
1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。m为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小如果BBAAbA?maaB?mb、 ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基
本关系：公倍数为mab
①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； mabmmb??A?B?ma?②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数． BABA?A?B2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。即 3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：，210就是567的最小公倍数 21076??5?b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：，而6,7,8的最小公倍数为336??3362?168876??
注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大 。”几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大“小关系，即．
六、 求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
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?72?5，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24如:1400严格分解质因数之后为个。
(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
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?7?25?321000?，所以21000如：所有约数的和为2323 748807)?)(1?3)(1?5?5?(1?2?25?2)(1?此公式
没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
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