2017成都中考数学真题解析版A

与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴

的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

菁优网版权所有【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2式为y=ax2+4，把A（2

，0），设抛物线的解析

，0）代入可得a=﹣，由此即可解决问题；

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x

﹣2m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛

物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有

，解不等式组即可解决问题；

（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形

PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2解析式为y=ax2+4， 把A（﹣2

，0）代入可得a=﹣，

，0），设抛物线的

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，

，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

则有，解得2＜m＜2，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2

．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点M在y=﹣x2+4上，

∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=∴m=

﹣3或﹣

﹣3（舍弃），

﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），

∴m=6时，四边形PMP′N是正方形． 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=

﹣3或6．

【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．