b
解析：选B 双曲线的渐近线方程为y＝±x，
a因为双曲线的离心率为2， 所以
?y＝3x，b2b
1＋2＝2，＝3.由?2
aa?y＝2px，
?x＝0，?
解得?
??y＝0
?x＝3，或?23p
y＝?3.
2p
由曲线的对称性及△AOB的面积得， 123p2p
2×××＝3， 233
393
p＝－舍去?. 解得p2＝，即p＝?2?42?
[通法在握]
求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
[演练冲关]
1．(2019·宁波质检)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为( )
A．1 C．3
2
B．2 D．4
2
py1，0?，设M?，y1?，由中点坐标解析：选D 抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F??2??2p?
py21公式可知＋＝2×2，y1＋0＝2×2，解得p＝4.
22p
2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且FM＝3FP，则|FP|＝( )
3A. 24C. 3
2 B. 33 D.
4
解析：选C 设直线l的倾斜角为θ，如图所示，过点P作PN垂直准线于点N，由抛物线定义知|PN|＝|PF|.∵FM＝3FP，∴|FM|＝3|FP|，1
即|PM|＝2|PN|.在Rt△MNP中，cos∠MPN＝，∵PN∥x轴，∴cos θ
2
p1244
＝，由抛物线焦半径的性质可得|PF|＝＝＝，即|FP|＝. 21331＋cos θ
1＋
2
考点三 直线与抛物线的位置关系?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
(2018·长兴中学模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C1上一点，|PF|＝4，点P到y轴的距离等于3.
(1)求抛物线C1的标准方程；
(2)设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y＝x上，P(0,2)为定点，求△PAB面积的最大值．
p
解：(1)由题意，＋3＝4，∴p＝2，
2所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x.
(2)设直线AB：x＝ty＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??x＝ty＋b，
联立方程?2
?y＝4x?
消元化简得y2－4ty－4b＝0， Δ＝16t2＋16b＞0.
且y1＋y2＝4t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2b＝4t2＋2b， 所以D(2t2＋b,2t)，2t2＋b＝2t. 由Δ＞0得0＜t＜2.
|－2t－b||2t2－4t|
所以点P到直线AB的距离d＝＝，
1＋t21＋t2所以|AB|＝1＋t216t2＋16b＝41＋t22t－t2，
2
1122|2t－4t|22
所以S△ABP＝|AB|d＝×41＋t2t－t＝22t－t·|2t－4t|.
221＋t2令m＝2t－t2，
则m∈(0,1]，且S△ABP＝4m3. 由函数单调性可知，(S△ABP)max＝4.
[由题悟法]
解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式．
[即时应用]
如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程； (2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)． 因为线段AB的中点在直线y＝2上， 所以直线l的斜率存在，
2??y1＝4x1，
设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由?2得(y1
?y2＝4x2，?
＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
?x＝my＋1，?
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得?2消去x，得y2－4my
??y＝4x，
－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0. |AB|＝m2＋1|y1－y2| ＝m2＋1·?y1＋y2?2－4y1y2 ＝m2＋1·?4m?2－4×?－4? ＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·湖州质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x C．y2＝8x
B．y2＝－4x D．y2＝－8x
1
解析：选D ∵AB⊥x轴，且AB过点F，∴AB是焦点弦，∴|AB|＝2p，∴S△CAB＝
2
p?
×2p×??2＋4?＝24，解得p＝4或p＝－12(舍去)，∴直线AB的方程为x＝2，∴以直线AB为准线的抛物线的标准方程是y2＝－8x，故选D.
2．(2018·江山质检)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( )
1
A. 2C．2
B．1 D．3
p
解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋＝5，解得p＝2.
2
3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )
7πA. 123πC. 4
2π B.
35π D.
6
解析：选B 由抛物线y2＝4x知焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,23)，因此点A的坐标为(－1,23)，所以kAF＝2π＝－3，所以直线AF的倾斜角为. 3
4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C：y2＝23x，过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝( )
A．8 C．43
B．23 D．83
23－0
－1－1
解析：选B 法一：由题意可得p＝3，F
?3，0?.不妨设点P在x轴上方，由抛物线?2?
π
定义可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，设直线PQ的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝，由抛3物线焦半径的性质可知，|PF|＝
pp3323
＝＝23，|QF|＝＝＝，
ππ31－cos θ1＋cos θ
1－cos 1＋cos
33
π83311
∴|MN|＝|PQ|sin θ＝(|PF|＋|QF|)·sin＝×＝4，∴S△MFN＝|MN|·p＝×4×3＝23.
33222
法二：由题意可得F
3??3，0?，?直线PQ的方程为y＝3x－＝3
2??2??
332
3x－?2＝23x，x－，与抛物线方程y2＝23x联立，得?即3x－532??2
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