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∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°， ∴△NGP∽△ADB， ∴
==，
∴PG=NG=m，
∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3， ∴S△PON=OP?GN=（﹣m2+m+3）?m， 当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题（3）的关键．
26．（12分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．
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....
（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ （3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长． 【分析】（1）由HI∥AD，得到
=
，求出AD即可解决问题；
（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；
（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，
∵HI∥AD， ∴
=
， ，
∴=
∴AD=6， ∴ID=CD﹣CI=2， ∴正方形的边长为2．
（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．
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∵CA=CP，CD⊥PA， ∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P， ∵HG′∥PA，
∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P， ∴∠CHG′=∠CG′H， ∴CH=CG′， ∴IH=IG′=DF′=3， ∵IG∥DB， ∴∴
=
，
=，
∴DB=3， ∴DB=DF′=3， ∴点B与点F′重合，
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′， ∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．
（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．
∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°， ∵DN=DN，DM=DR， ∴△NDM≌△NDR， ∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，
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∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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