p0 pipopia.pom1n1mpin?b.rm1mdr+drdrn1rdrn?Ric.Rod.图2-15 厚壁圆筒中的应力
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力
对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布：
?Ri2pi??R02p0piRi2?p0R02?z?? = A2R0?Ri2??R02?Ri2?2、周向应力与径向应力
由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
a. 微元体 b. 平衡方程
?r??
c. 几何方程 (位移－应变，用位移法求解) d. 物理方程（应变－应力）
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程（求解微分方程，积分，边界条件定常数） ①. 微元体
如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。 ②. 平衡方程
??r?d?r??r?dr?d???rrd??2??drsin
63
r （2-25）
?2?0
d?r （2-26） dr③. 几何方程 (位移－应变)
解得????r?r??drdr??一 （2-27）
r?wd??rd???w 周向应变 ?????rd?r??径向应变 ?r??w?dw??w?dw变形协调方程
d??1???r???? （2-28） drrmw+dw
w 1 1
1
n' n
1
m
mm
n' dr n d ? r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
④. 物理方程
1?r???????z?????E1??????????r??z?? ??E （2-29）
?r?⑤. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
将式（2-28）中的应变换成应力并整理得到：
d2?rd?rr?3?02drdr
解该微分方程，可得
?r的通解。将
?r再代入式（2-26）得
??。
?r?A?边界条件为：当当
BB ; ??A??r2r2 （2－32）
r?Ri时，
?r??pi；
r?R0时，
?r??p0。
64
由此得积分常数A和B为：
22pi?p0?Ri2R0?piRi2?p0R0A? B? （2－33） 22R0?Ri2R0?Ri222pi?p0?Ri2R0?piRi2?p0R01周向应力 ???? 22222R0?RiR0?Rir22pi?p0?Ri2R0?piRi2?p0R01径向应力 ?r?? （2-34） 22222R0?RiR0?Rir2piRi2?p0R0轴向应力 ?z? 22R0?Ri称Lamè（拉美）公式
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
应 受 力 位 力 情 况 置 分 析 ?r ?? 仅受内压 仅受外压 po=0 pi=0 任意半径r内壁处 外壁处 任意半径r内壁处 r=Ri r=Ro r=Ri 处 处 2?2?pi??poK2? ?1?Ro? ?1?Ri? 22?22????piK?1?r?K?1?r?0 0 2??Ro?K2?1??1???22? Pi??K?1?r??K2?1???外壁处 r=Ro ?po pi ?2?pi?2??K?1? 2??poK2??1?Ri?K2?1?r2??? ?2K2???po?2?K?1??? ?K2?1???po?2?K?1????z ?1?pi?2??K?1? ?K2???po?2?K?1??? z zr r图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
65
结论：
从图2-17中可见，仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：
①周向应力?? 及轴向应力?z 均为拉应力（正值），径向应力?r 为压应力（负值）。 ②在数值上有如下规律：
内壁周向应力?? 有最大值，其值为：??max外壁处减至最小，其值为：??min?pi内外壁?? 之差为pi；
径向应力内壁处为?pi，随着r增加，径向应力绝对值逐渐减小，在外壁处?r?0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力和的一半，即
1?z??????r?
2③除?z外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
K2?1?pi2
K?12 K2?1????r?R以?? 为例，外壁与内壁处的周向应力?? 之比为：
????r?RK值愈大不均匀程度愈严重，
0?i2 2K?1当内壁材料开始出现屈服时，外壁材料则没有达到屈服，因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力
3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点 5、不计热应力的条件 6、减小热应力的措施
1、热应力概念：因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。
t单向约束：?y???E?t （2－35）
tt??y??双向约束：?x?E?t （2－36） 1?? 66
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