平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
?
1、定义：如果a??，那么向量a叫做平面?的法向量。平面?的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法
?
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面?的法向量n?(x,y,1)[或
n?(x,1,z)，或n?(1,y,z)]，在平面?内任找两个不共线的向量a,b。由n??，得
n?a?0且n?b?0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax?By?Cz?D?0 (A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量n?(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:向量。
?xyz把它化为一般式即可求出它的法???1,称此方程为平面的截距式方程，
abc
??方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a?b为一长
度等于|a||b|sin?，（θ为,两者交角，且0????），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为a?b的方向,a?b??b?a。
?y1z1x1z1x1y1?? ?设a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2),则:a?b?? ,? ,
x2z2x2y2???y2z2????????????
（注：1、二阶行列式:M?
??ac
bdD1 ）?ad?cb；2、适合右手定则。A1 E
A x
z B1 C1 y C 图1-1 B 例1、 已知，a?(2,1,0),b?(?1,2,1)，试求（1）：a?b;（2）：b?a.?????D F ??
Key: (1) a?b?(1,?2,5);(2)b?a?(?1,2,5)?例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，
1
key:法向量n?AF?AE?(1,2,2)求平面AEF的一个法向量n。
???
二、 平面法向量的应用
?B nB 1、 求空间角
?(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面?的法向量，
AB是平面?的一条斜线，A??，则AB与平面?
?α A C 图2-1-1 ?n ? C α A 图2-1-2 所成的角为：图2-1-1:??
???2??n,AB??????n?AB?arccos?.?2|n|?|AB|??
??图2-1-2:???n,AB?????n?AB??arccos???2|n|?|AB|2?sin??|cos?n,AB?|
(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面?、?的法向量，则二面角??l??的平面角为：
?β n β m ??n α ? 图2-2 m ?α ? 图2-3
???m,n??arccos????m?n????（图2-2）;
|m|?|n|???m,n????arccosm?n????(图2-3)
|m|?|n|两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面?而言向外，n的方向对平面?而言向内；在图2-3中，m的方向对平面?而言向内，n的方向对平面?而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角??l??的平面角。
????
2
2、 求空间距离（1）、异面直线之间距离:
??方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量a、b，
?
求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；
??B b a ? n 图2-4 ?③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为d?|AB?n||n|???A ,其中n?a,n?b,A?a,B?b??M n B α A O （2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
N 图2-5 为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式为d?|AB?n||n|???n
?n A B a （3）、直线与平面间的距离: 方法指导：如图2-6,直线a与平面?之间的距离：
α ?图2-6 d?AB?n|n|，其中A??,B?a。n是平面?的法向量
n B
（4）、平面与平面间的距离:
β
α ?A 图2-7 方法指导：如图2-7,两平行平面?,?之间的距离：
??md?|AB?n||n|a a??，其中A??,B??。n是平面?、?的法向量。
??α 图2-8 3、 证明
a ?（1）、证明线面垂直：在图2-8中,m向是平面?的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（m??a）。
??m?aα 图2-9 β ?（2）、证明线面平行：在图2-9中,m向是平面?的法向量，a是直线a
??nm图2-10 ?α 3
的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（m?a?0）。
????
（3）、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面?的法向量，n是平面?的法向量，证明两平面的法向量垂直（m?n?0）
??
??（4）、证明面面平行：在图2-11中, m向是平面?的法向量，n是平面?的法向量，证明两平面的法向量共线（m??n）。
?β α n??m图2-11 ?三、高考真题新解
P M A 1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=
B M是PB的中点
D （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； 图3-1 C （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
1AB=1，2(I).?AP?(0,0,1)，AD?(1,0,0)，设平面PAD的法向量为m?AP?AD?(0,?1,0)?????
????又?DC?(0,1,0)，DP?(?1,0,1)，设平面PCD的法向量为n?DC?DP?(1,0,1)?
???m?n?0，?m?n，即平面PAD?平面PCD。
????
AC?PB10(II).?AC?(1,1,0)，PB?(0,2,?1)，??AC,PB??arccos??arccos?5|AC|?|PB|????
?1(III).?CM?(?1,0,)，CA?(?1,?1,0)，设平在AMC的法向量为
2???11m?CM?CA?(,?,1).
22????11又?CB?(?1,1,0),设平面PCD的法向量为n?CM?CB?(?,?,?1).
22?
4
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