法向量求法及应用方法

??m?n2??m,n??arccos???arccos(?).

3|m|?|n|??

22?面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos(?).[或??arccos]33

2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

已知AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

图

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

?(I).?BC?(?2a,0,0),BA1?(0,?a,a),设平面

??A1BC的法向量为

n?BC?BA1?(0,2a2,2a2)???

又?AD?(?2a,0,0),?n?AD?0,?AD?n,即AD//平面A1BC.

??????22a,0,a),MA1?(?a,a,0),设平面A1MC的法向量为: (II).?MC?(22m?MC?MA1?(a2,????2222a,?a),22?

又?BD1?(?2a,?a,a),BA1?(0,?a,a),设平面

?A1BD1的法向量为:

n?BD1?BA1?(0,2a2,2a2),

??????

?m?n?0,?m?n,即平面A1MC?平面A1BD1.

(III).设点A到平面AMC的距离为d,

1

?m?MC?MA1?(a2,???2222a,?a)是平面A1MC的法向量,225

??又?MA四、

??(2|m?MA|1a,0,0),?A点到平面AMC的距离为:d??a.?22|m|1

用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）算）

（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

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