河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题18利用函数图象研究函数性质及新题型(含解析)

专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型

题型一、利用函数图象研究函数性质 第一步：确定函数自变量取值范围； 第二步：列表、描点、连线； 第三步：根据函数图象解答相关题目. 题型二、定义新题型

提出一些新颖的概念，根据概念解答相关题型.

【例1】（2019·开封模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数y?因为y?列表：

x?2（x≠0）的图象与性质． xx?2222?1?，即y???1，所以我们对比函数y??来探究． xxxx1 2x … -4 -3 -2 -1 ?1 2-4

1 2 3 4 …

2y??

xy?x?2 x…

1 23 22 35 31 2 4 -2 -1 ?2 3?1 … 2…

… 2 3 5 -3 -1 0

1 31 2描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y?相应的点，如图所示：

y54321-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-512345xx?2相应的函数值为纵坐标，描出x

（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x＜0时，y随x的增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②y?x?22的图象是由y??的图象向_______平移______个单位而得到； xxx?2与直线y=-2x+1交于点A，B，求△AOB的面积． x③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） （3）函数y?【答案】（1）见解析；（2）增大；上，1；（0,1）；（3）见解析. 【解析】解：（1）如图所示；

（2）①增大；②上，1；③（0,1）； （3）联立：y?x?2与直线y=-2x+1， x解得：x=1，y=－1或x=－1，y=3，

111∴S△AOB=×2×4－×1×4－×2×1=1.

222【变式1-1】（2019·郑州模拟）探究函数y?x?（1）函数y?x?4的图象与性质 x ；

4的自变量x的取值范围是 x（2）下列四个函数图象中可能是函数y?x?4的图象的是 x

（3）对于函数y?x?解：∵x>0，

4，当x>0时，求y的取值范围. x4∴y?x?=

x?x?222??2????x?=???+

xx????22 ，

2??∵?x??≥0，

x??∴y≥ 拓展运用

.

x2?5x?9（4）若函数y?，则y的取值范围是 x . 【答案】（1）x≠0；（2）C；（3）4，4；（4）y≥1或y≤－11. 【解析】解：（1）由分式的意义，知x≠0； （2）∵x≠0， ∴A错误；

当x>0时，y>0，故B、D错误， ∴选项C正确； （3）4；4；

x2?5x?99（4）当x>0时，y??x??5=

xx3??∵?x??≥0，

x??∴y≥1；

2?x?23??3?????5x?=????1

xx????22x2?5x?99当x<0时，y??x??5

xx?=??????x?22?3???????5

?x????3??=???x???11，

?x??3??∵???x??≤0

?x??∴y≤－11；

综上所述，y≥1或y≤－11.

【例2】（2018·洛阳三模）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax－a为抛物线y=ax+bx+c（a、b、

2

22c为常数，a≠0）的“梦想直线”. 有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三

角形”．

已知抛物线y??轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 的标为

；

，点A的坐标为

，点B23243x?x?23与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x33（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、

C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y??2323x?，(－2，23)，（1，0）；（2）（3）见解析. 3323243x?x?23，由定义知： 332323x?其梦想直线的解析式为：y??， 33232323243x?x?x?23，解得： 联立y??，y??3333【解析】解：（1）抛物线y????x?1?x??2或， ??y?0y?23???故答案为：y??2323x?，(－2，23)，（1，0）. 33（2）由题意知C(－3,0)，过A作AG⊥y轴于G，

①当点N在y轴上时，△AMN是梦想三角形，

AC=AN=13，

由抛物线的对称轴x=－1，A(－2，23)，得：AG=2，G(0，23)， 在Rt△ANG中，由勾股定理得：

GN=3，

∴N(0,23+3)或(0,23－3)，

当ON=23+3时，则MN＞OG＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意， ∴N(0,23－3)，

②当点M在y轴上时，△AMN为梦想三角形， 即M点在坐标原点，M(0,0)，

在Rt△AGM中， AG=2，GM=23，tan∠AMG=∴∠AMG=30°，

∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°，

3， 3