1.1.1 正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明． 1．正弦定理：asin A＝bc
sin B＝sin C
＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)aa＋sin A＝bsin B＝c
sin C＝b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R； (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝a2R，sin B＝bc
2R，sin C＝2R
. 2．三角形面积公式：S＝111
2absin C＝2bcsin A＝2
casin B.
一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 D
2．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝c
cos C
，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案 B
解析 由正弦定理知：sin Asin Bsin C
cos A＝cos B＝cos C
，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin A＝3
4
，a＝10，则边长c的取值范围是( A.?15
?2，＋∞??
B．(10，＋∞) C．(0,10) D.??
0，403?? 答案 D
解析 ∵csin C＝a4040
sin A＝3，∴c＝3sin C.
∴0 3 . 4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案 A 解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ) ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 答案 B 解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， b＋cc＋aa＋b∴＝＝. 456b＋cc＋aa＋b令＝＝＝k (k>0)， 456b＋c＝4k?? 则?c＋a＝5k??a＋b＝6k ??5 ，解得?b＝2k ?k?c＝32 7a＝k2 . ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 1 6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) 4 A．1 B．2 1 C. D．4 2 答案 A 解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π， 1abcabc1 得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1. 24R44 二、填空题 1 7．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝，S△ABC＝43，则b＝________. 3 答案 23 122 解析 ∵cos C＝，∴sin C＝， 33 1 ∴absin C＝43，∴b＝23. 2 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________. 答案 2 ab31 解析 由正弦定理＝，得＝， sin Asin Bsin 60°sin B 1 ∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b， 2 得A>B，∴B＝30°，故C＝90°， 由勾股定理得c＝2. ab2c 9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋sin A2sin Bsin C ＝________. 答案 7 解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， abc∴＝＝＝2R＝2， sin Asin Bsin C ∴ ab2c＋＋＝2＋1＋4＝7. sin A2sin Bsin C a＋b＋c ＝ sin A＋sin B＋sin C 10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则 ________，c＝________. 答案 12 6 解析 a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝63 3 ＝12. 2 ∵S11 △ABC＝2absin C＝2×63×12sin C＝183， ∴sin C＝12，∴csin C＝a sin A ＝12，∴c＝6. 三、解答题 11．在△ABC中，求证：a－ccos Bsin B b－ccos A＝sin A. 证明 因为在△ABC中，absin A＝sin B＝c sin C ＝2R， 所以左边＝2Rsin A－2Rsin Ccos B 2Rsin B－2Rsin Ccos A ＝sin?B＋C?－sin Ccos Bsin Bcos Csin Bsin?A＋C?－sin Ccos A＝sin Acos C＝sin A ＝右边． 所以等式成立，即a－ccos Bsin B b－ccos A＝sin A . 12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． 解 设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A ?a2sin Bcos B＝b2sin Acos A ?4R2sin2 Asin B4R2sin2 Bsin Acos B＝cos A ?sin Acos A＝sin Bcos B ?sin 2A＝sin 2B ?2A＝2B或2A＋2B＝π ?A＝B或A＋B＝π 2 . ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 能力提升 13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( A．45° B．60° C．75° D．90° 答案 C 解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°， ∴sin Csin A＝sin(120° －A)sin A ＝sin 120° cos A－cos 120°sin Asin A ＝32tan A＋12＝3＋12＝32＋1 2， ∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°. 14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π 4 ，) B25cos ＝，求△ABC的面积S. 25 B3 解 cos B＝2cos2 －1＝， 254 故B为锐角，sin B＝. 5 3π72－B?＝所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin??4?10. asin C10 由正弦定理得c＝＝， sin A7111048 所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝. 22757 1．在△ABC中，有以下结论： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； A＋BCπ(3)＋＝； 222A＋BA＋BA＋BCC1(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝. 22222Ctan 22．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．
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