2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形

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（1）若t

2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形

知识点1.等腰三角形的性质与判定： 例1.如图，在△ABC中，AB

AC，BC 6，AM平分

BAC，D为AC的中点，E为

BC延长线上的一点，且2CE BC.

（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形.

知识点2.等腰三角形的存在性问题：

例2.如图，在矩形

ABCD中，AB

4，BD

2AB ，BE平分 ABD，点 P从点

D以每

秒 2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S.

2时，求证：△DBA∽△PBQ

；（2S的最大值； ）求S关于t的函数关系式及

（3）在运动的过程中，

△BQM 能否成为等腰三角形，若存在，求出

t的值；若不存在，请说明理由 .

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例3.如图，若抛物线

y

1

xbxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，A2，0，

2

2

C0，

1.

（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当

△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

基础训练： 一、选择题：

1.如图，在△ABC中，ABBC 10，AC的垂直平分线交

AB、AC于D和E，则

△BCD的周长为（ ） A.6 B.8

2.如图，在△ABC中，BD平分

长为（

）

C.10 D.12

ABC，ED//BC，AB 3，AD1，则△AED的周

A.2

3.如图，

B.3

OB、OC分别平分

C.4

ABC、ACB，MN//BC，若AB

D.5

34，AC20， D.72

25，则B

△AMN 的周长为（ ） A.60 B.54 4.如图，在△ABC中，AD

C.68

BC于点D，ABBD CD，C

（ ）

A.25 B.30 C.50 D.60

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第1题

题

第2题

第3题

第4

二、解答题：

5.如图，在△ABC中，AB AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，

BECF，BDCE. （1）求证：△DEF是等腰三角形；（ 求DEF的度数.

2）求证：B

DEF；（3）当A40时，

6.如图，点A、C分别在 分线交AD于点D，连接CD.

GBE的边BG、BE上，ABAC，AD//BE，GBE的平

（1）求证：ABAD；（2）求证：CD平分 数量关系，并说明理由.

ACE；（3）试判断

BDC与BAC的

7.如图，在△ABC中，AB 出发以1cm/s的速度在线段 （1）求AD的长；（2）当

AC13cm，BC10cm，D为BC的中点，动点P从点A AD上向终点D运动，设动点运动时间为 t秒. △PDC的面积为15cm2，求t的值；（3）动点M从点C出发

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以2cm/s的速度在射线 也停止运动，是否存在

△

t

CB上运动，当M与点P同时出发，当点P运动到终点D时，点M

，使得

△

S

ABC

，若存在，求出

t

12SPMD

的值；若不存在，请说明理由.

能力训练：

8.如图，在△ABC中，AB

B40，D在BC上运动（D不与B、C重 AC 2，

合），连接AD，作ADE 40 ，DE交线段AC于E. （1）当BDA115时，求 EDC和 DEC的度数；（2）当DC为何值时， △ ABD≌△DCE；（3）当BDA为何值时，△ADE为等腰三角形.

挑战压轴题：

9.如图，二次函数

y

ax2

bx c的图象交 x轴于 A 1， 0，B2，

0 两点，交 y轴于

C0，

2 ，过 A、C画直线，点 M 在二次函数图象上，以

M 为圆心的圆与直线

AC相

切，切点为H.

（1）求二次函数的解析式；（

若M 在

2）若点 P在

x轴正半轴上， PA PC，求 OP的长；（ 3）

y轴的右侧， △CHM ∽△AOC，求点 M 的坐标；（4）若⊙ M 的半径为

4 5

5，

求点M的坐标.

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2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形

7

等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的

高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．

例 1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠ MAC的度数．

分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．

1-1

练习1

1．如图，已知ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠

DEC等于

）．

△A．7．5°D ．18° （

B ．10° C ．12.5°

2．如图，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

3．如图，等腰三角形 ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________．

例2如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC延长线于

点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．

分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

1-5

练习2

1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

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1-6

1-7

1-8

2．如图 1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠

BAC=90°，点 D是△ABC内一点，且∠ DAC=∠DCA=15°，则 BD

BA的大小

关系是（ ）

与

A ．BD>BA 吗？为什么？

B ．BD

3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=?AC，?延长BE交AC于F，AF与EF相等

例3 已知：如图 1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形， M、N分别为AE和DC?

?只要能够证明这个三角形满足“三条

的中点，那么△ BMN是等边三角形吗？说明理由．

分析 要说明一个三角形是等边三角形，

边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．

1-9

练习3

1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF?交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-10

2．已知：如图 1-11，△ABC是等边三角形， E是 AC延长线上的任意一点，选择一点

如果 M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△ CMN?是等边三角形吗？为什么？

D，?使△CDE是等边三角形，

1-11

3．已知：如图 1-12，等边三角形 ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形

则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

PCD、QAE和RAB，

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例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC

于E，试比较AE+BE与BC的大小？

分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，?常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．

解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，

1-13

练习4

1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF

⊥ AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，?说明CE与AC+CD相等的理由．

3．已知：如图 1-16，△ABC是等边三角形，延长 AC到 D，?以BD?为一边作等边三角形 BDE，连结 AE，则

AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“ <”）

1-16

例 5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB， 那么CE是CD的几分之几？

分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段． 解：延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．

1-17

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练习5

1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、?AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．

1-18

2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE?是BD的几分之几？

1-19

3．已知：如图 1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于 H，且AE=BE，?那么AH是BD的________倍．

1-20

答案:

∴（180°-x）=180°-8x．

1

练习1 1．解：设∠DEC=x，

∵AD=AE，

2

∴x=12°，故∠ACB=36°．

3．解：如图，作△AED≌△BAC，连结EC．

则∠AED=∠BAC=20°，

∴∠ADE=∠AED．

∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）

-（∠C+x）

∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．

∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°． 又∵AB=AE=AC，

∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴2x=30°，x=15°，故选C．

2．解：∵AB=BB′，

∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠

∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°． ∴∠EDC=（180°-∠DEC）=70°．

1

BAB′．

又∠CBB′=∠DBB′，

∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．

设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB， ∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x． ∵AA′平分∠EAB． ∴∠A′AB=

2

∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．

练习2

1．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠

1

2

FEC=90°．

（180°-x）．

在Rt△DEB与Rt△FEC中，

又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x

∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F． ∵∠FDA=∠BDE，

∴∠FDA=∠F，故AD=AF．

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2．解：以 AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．

则∠1=∠2=∠3=60°． ∴ AE=ED=AD． ∵∠DAC=15°，

∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°． ∴∠DAC=∠EAB． 又∵DA=AE，AB=AC， ∴△EAB≌△DAC． ∴∠EBA=∠DCA=15°．

∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°． ∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°． ∴∠BEA=∠BED． 又∵EB=EB，AE=ED．

∴△BEA≌△BED，∴BD=BA． 故选择C．

3．解：延长 AD到G，使DG=AD，连结BG，

∵ BD=DC，∠BDG=∠CDA， AD=DG，

∴△ADC≌△BDE．

∴ AC=BG，∠G=∠EAF，

∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°． ∴△CMN是等边三角形．

∵△ABC与△CDP均为等边三角形， ∴ AC=BC，CD=CP，

∠ACB=∠DCP=60°．∴∠1=∠2，

∴△ADC≌△BPC．∴∠CBP=∠DAC=60°．

3．解：连结 BP．

∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60° ∴R、B、P三点共线． 又

+60°+60°=180°，

∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，

∴ R、A、Q三点共

线．而AQ=AE=AD=BP，

∴ RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．

又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．

故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．

练习4

1．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，

即

又∵BE=AC，∴BE=BG．

∴ ∠G=∠BED，而∠BED=∠ AEF，

∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．

练习3

1．解：∵△ABC是等边三角形，

∴ AB=BC=CA

∠ ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AF=CE，

1 2

AB·CF=AB·PD+AB·PE．

1 2

1 2

∴ CF=PD+PE．

2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，

∴△AEC≌△ADB．

∴ CE=BD．

又∵BD=BC+CD=AC+CD． ∴ CE=AC+CD．

∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD． ∴△ABE≌△CBD．

∴ AE=CD．又∵AB=AC，

∴△ABD≌△BCE ∴∠1=∠2=∠3． ∴∠BAC-∠1=∠

ACB-∠3．

即∠CAK=∠ABG= 又∵AB=BC=CA，

∴△ABG≌△BCH≌△CAK． ∴∠AGB=∠BHC=∠CKA． 即∠KGH=∠GHK=∠GKH． 故△GKH是等边三角形．

≌△CAF．

3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．

ABC-∠2=∠

∠BCH．

∴ AD=AC+CD=AB+AE．

练习5

1．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△

BEA，∴∠CAD=∠EBA．

又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°， ∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°， ∴ BP=2PQ．

2．解：延长 CE交BA的延长线于 F，

∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE， ∴△BEC≌△BEF． ∴ BC=BF，CE=EF， ∴ CE=CF．

2．解：由于△ ABC与△CDE均为等边三角形， A、C、E三 点共线，得知：

CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，故△ACD≌△BCE．

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE． 又 DM=AD，EN=BE，

11

1

2

2 2

∴△DCM≌△ECN．

∴∠DCM=∠ECN，CM=CN． 又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，

又∵∠2+∠3=90°，∠ ∴∠2=∠5，且AB=AC． ∴ Rt△AFC≌Rt△ADB．

4+∠5=90°，∠3=∠4，

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∴ CF=BD．故CE=BD．

1 2

3．解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴ BD=DC，∠DAC+∠C=90°． 又∵BE⊥AC，

∴∠EBC+∠C=90°．∴∠DAC=∠E

BC．

在△AEH和△BEC中，∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．∠AEH=∠BEC=90°，

∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．又BC=2BD，故AH=2BD．

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