C．抛物线 答案 A
解析 由条件知|PM|＝|PF|，
D．圆
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
2．过椭圆4x＋y＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( ) A．2 C．8 答案 B
解析 椭圆方程变形为＋＝1，
11
4
∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.
3．(2017·承德模拟)椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线
4与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( ) 73
A. B. C.3 D．4 22答案 A
解析 F1(－3，0)，∵PF1⊥x轴， 1?1→?∴P?－3，±?，∴|PF1|＝，
2?2?17→
∴|PF2|＝4－＝.
22
4．(2017·呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x＋9y＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 答案 6＋2 6－2
解析 椭圆方程化为＋＝1，
95设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴|PA|＋|PF|≤6＋2，|PA|＋|PF|≥6－2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧
2
2
2
2
B．4 D．22
y2x2
x2
2
x2y2
5
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
6
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程
典例 (1)(2018·济南调研)已知两圆C1：(x－4)＋y＝169，C2：(x＋4)＋y＝9，动圆在圆
2
2
2
2
C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 6448C.－＝1 4864答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
6448
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( ) A.＋＝1(y≠0) 259C.＋＝1(y≠0) 169答案 A
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共
x2x2
y2y2
B.＋＝1 4864D.＋＝1 6448
x2x2
y2y2
x2y2
x2x2
y2y2
B.＋＝1(y≠0) 259
D.＋＝1(y≠0) 169
y2y2
x2x2
x2y2
线)．设其方程为2＋2＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.
ab故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
259命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
x2y2
?35?典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点?－，?，(3，5)，则?22?
椭圆方程为________． 答案
＋＝1 106
2
2
y2x2
解析 设椭圆方程为mx＋ny＝1(m，n>0，m≠n)． 3???5????－2?2m＋?2?2n＝1，
??由???
??3m＋5n＝1，
7
11
解得m＝，n＝. 610∴椭圆方程为＋＝1.
106
(2)过点(3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
259答案
＋＝1 204
y2x2
y2x2
y2x2
解析 方法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
259由椭圆的定义知，2a＝?3－0?＋?－5＋4?＋?3－0?＋?－5－4?， 解得a＝25.
由c＝a－b可得b＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
204方法二 ∵所求椭圆与椭圆
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2x2
y2x2
y2
25
＋＝1的焦点相同， 9
x2
∴其焦点在y轴上，且c＝25－9＝16.
y2x2
设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab∵c＝16，且c＝a－b，故a－b＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴?－5?
2
2
2
2
2
2
2
a2ab?3?
＋2＝1，
2
b53
即2＋2＝1.②
由①②得b＝4，a＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
204
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2
2
2
2
y2x2
y2
跟踪训练 设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为______________． 322 答案 x＋y＝1 2 8
相关推荐：
loading