微积分基本定理的证明

在前人研究的基础上，各自独立地将微分和积分真正地沟通。通过微积分基本定理将两种运算统一起来，明确这对矛盾是可以转化的，是一对互逆的运算，这是建立微积分的关键所在，只有确定了这一基本关系，才能构建系统的微积分理论，并从对各种微分和求积公式中，归纳出共同的算法，从而为微积分应用提供了有力武器。这就是牛顿、莱布尼兹做为微积分理论奠基人的主要功绩。

1.5柯西现代形式的微积分基本定理

牛顿和莱布尼兹的做积分体积中，总是将积分看成微分的逆运算，并且他们的积分概念也是含糊不清的，有时指为定积分，有时又为不定积分、特别是将积分定义为微分的逆命题，从某种意义上影响了积分学做为相对独立数学分枝的发展，造成了微积分发展的曲折，这种情况到微积分进行严格化尝试时才有所变化。

柯西(1779～1857)，十九世纪法国著名的数学家，他在分析基础、单复变函数、常微分方程方面作出巨大贡献。他是微积分的真正理论基础——极限理论的缔造者。我们今天看到极限、连续性定义、把导数看成差商的极限、把定积分看成和的极限、微积分基本定理现代形式和证明，事实上都是柯西给出的。

柯西在他的《无穷小计算概念}(1823)中对定积分作了最系统的开创性工作，首先他恢复了把积分作为和的特征。

他对连续函数f(x)给出了定积分作为和的特征，他指出；如果f(x)是定义在区间?x0,x?上连续函数，区间?x0,x?为x的值x1,x2，?，xn?1所分割，那么f(x)在?x0,x?上的积分是指特征和式

f(x0)(x1?x0)?f(x1)(x2?x1)???f(xn?xn?1).

当xi?1?xi无限地减小时的极限。柯西证明了“这个极限仅仅依赖于函数f(x)的形式以及变量x的两端值x0和X” ，因此他称这个极限为定积分，记作?f(x)dx。用以代替高

x0X?x?b?斯对反微分法经常使用的记号?f(x)dx?。 ??x?a? 接着柯西定义，F(x)??f(x)dx，利用推理证明了F(x)在?x0,X?上连续，并且设

xx0F(x?h)?F(x)1x?h??f(x)dx.

hhx

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?x??利用积分中值定理证明了?f(x)dx?f(x)，即f(x)在区间?x0,x?上的定积分的导数就???x0?是f(x)的本身。这就是微积分基本定理的现代形式，所给的证明也是微积分基本定理第一个严格的证明。

柯西接着证明了：给定函数f(x)的全体原函数彼此只差一个常数之后，定义了不定积分

?积分基本定理的全部任务。

f(x)dx??f(x)dx?c。

abax在这一著作中，柯西指出，若f?(x)连续，则?f?(x)dx?f(b)?f(a)。从而完成了揭示微

1.6黎曼积分下的微积分基本定理

黎曼（1826~1866），19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。

1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。

柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。（即柯西-黎曼方程）

设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)定义在区域D内，并且在D内一点z?x?iy可导。所以对于充分小的?z??x?i?y?0，有

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f(z??z)?f(z)?f?(z)?z??(?z)?z，

?(?z)?0. 其中 lim?z?0令f(z??z)?f(z)??u?i?v，f?(z)?a?ib，?(?z)??1?i?2。 由上式得

?u?i?v?(a?ib)(?x?i?y)?(?1?i?2)(?x?i?y) ?(a?x?b?y??1?x??2?y)?i(b?x?a?y??2?x??1?y).

从而就有

?u?a?x?b?y??1?x??2?y,?v?b?x?a?y??2?x??1?y.?z?0

由于lim?(?z)?0，所以lim?1?0,lim?2?0.因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，而

?x?0?x?0?y?0?y?0且满足方程

a??u?v?u?v，?b????.

?x?y?y?x这就是函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内一点z?x?iy可导的必要充分条件。 方程

即为柯西-黎曼方程。

黎曼积分下的微积分基本定理为：若f(x)在?a,b?上可微，f?(x)在?a,b?上黎曼可积，则(R)?f?(x)dx?f(b)?f(a).

ab?u?v?u?v?，?? ?x?y?y?x 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。多年以后，当黎曼的想法在物理界完全成熟、开花结果时，爱因斯坦曾经写道：“惟有黎曼这个孤独而不被世人了解的天才，在上个世纪中叶便发现了空间的新概念———空间不再一成不变，空间参与物理事件的可能性才开始显现。”对于他的贡献，人们是这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。

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随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”。黎曼积分在处理逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的。然而随着集合论的一系列工作的创始，出现一些函数，在研究它们的可积性时，黎曼积分理论面临了新的挑战。特别是考虑微积分基本定理方面。在微积分基本定理中，f?x?必须可积的，但我们知道存在着可微且导数有界的函数，但其导数不是黎曼可积的。因此限制了微积分基本定理的应用范围。

1.7勒贝格测度积分论下的微积分基本定理

亨利·勒贝格（1875~1941）法国数学家，对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。随着K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。几乎与这一理论发展的同时(1870~1880年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中。这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充。

nn 勒贝格给出了集合测度的分析定义： 设E?R，若对于任意的T?R有

m?T?m?(T?E)?m?(T?Ec)

则称E为lebesgue可测集，简称E可测或称E为可测集。在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：

设y?f(x)是在?a,b?上定义的非负有界函数，即0?m?f(x)?M.对?m,M?作任意的分法 m?y0?y1?y2???yn?M，

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