微积分基本定理的证明

顿—莱布尼兹公式。

下面给出二重积分及曲线积分的牛顿—莱布尼兹公式，从而把牛顿—莱布尼兹公式从一元函数推广到多元函数。 二重积分的牛顿一莱布尼兹公式

设函数f(x,y)在矩形区域?a,b;c,d?上连续，以?x,y?表示区域内任意点，令

F(x,y)??du?axycy?F(x,y)?2F(x,y)f(u,v)dv，则??f(x,v)dv,?f(x,y)。

c?x?x?y定义1：设f(x,y)在矩形区域?a,b;c,d?上有定义，若存在函数F(x,y)使得

?2F(x,y)?f(x,y)，则称F(x,y)为f(x,y)在矩形区域?a,b;c,d?上的一个原函数。

?x?y 下面是二重积分的牛顿—莱布尼茨公式。

定理4：设f(x,y)在矩阵区域D?a,b;c,d?上连续，F(x,y)为f(x,y)的一个原函数，则

??f(x,y)dxdy?F(b,d)?F(b,c)?F(a,d)?F(a,c)。

D证明：将矩阵区域D?a,b;c,d?分为n?m个小矩形区域：

?xi,xi?1;yi,yi?1?(i?0,1,2,?,n?1;j?0,1,2,?,m?1)，则

F(xi?1,yj?1)?F(xi?1,yj)?F(xi,yj?1)?F(xi,yj)??(?ij,?ij)?xi?yi?f(?ij,?ij)?xi?yi?Fxy其中，xi??ij?xi?1,yj??ij?yj?1，对???中的i及j相加，得

???

?f(?i,jij,?ij)?xi?yj?F(b,d)?F(b,c)?F(a,d)?F(a,c)。

令i,j??，由f(x,y)的连续，知

F(b,d)?F(b,c)?F(a,d)?F(a,c) ?limi,j???f(?i,jij,?ij)?xi?yj???f(x,y)dxdy.

D曲线积分的牛顿—莱布尼兹公式

定义2：设D为单连通区域，p(x,y)，Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，若存在

u(x,y)，使得

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du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy。

则称u(x,y)，为P(x,y)dx?Q(x,y)dy的一个原函数。

由定理若存在u(x,y)，使du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，则曲线积分

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关，于是有如下曲线积分的牛顿—莱布尼兹公式。

L定理5 ：设D为单连通区域，p(x,y)，Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，u(x,y)为

P(x,y)dx?Q(x,y)dy上的一个原函数，A,B为D内的任意两点，则对连接A与B的任意

一条光滑曲线AB上的积分有

?ABP(x,y)dx?Q(x,y)dy?U(B)?U(A)。

证明：由原函数的定义不难知道：P(x,y)??u(x,y)?u(x,y),Q(x,y)?。 ?x?y设A,B两点的坐标分别为(xA,yA)及(xB,xB)，并设连接A、B两点的任意光滑曲线K的

?x??(t),参数方程为：???t??且?(?)?xA，?(?)?xB；?(?)?yA，?(?)?yB，则沿

y??(t),?曲线的曲线积分为

I??P(x,y)dx?Q(x,y)dyK???P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)?dt????u?du(?(t),?(t))??u?????(t)???(t)?dt??dt??x??ydt???

?U(?(t),?(t))??U(?(?),?(?))?U(?(?),?(?))??U(B)?U(A).小结：牛顿—莱布尼兹公式?babf(x)dx?F(x)?F(b)?F(a)实际上就是把f(x)在区间

a?a,b?上的定积分变为函数F(x)沿边界（端点）的函数值得差。类似在数学分析中给出

了格林公式

??Q?P??Pdx?Qdy??????x??y??dxdy.

??DD?

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高斯公式

??P?Q?R??. ?????x??y??z??dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????斯托克斯公式

??R?Q???Q?P???P?R?????Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??dxdy???????y?z?????z?x????x?y????????R?Q????Q?P???P?R??????????cos???cos???cos????ds.??y?z?????z?x????x?y?????

都是将某区域（区间，平面区域，空间区域，曲面）上的积分化为其边界上的积分。所以，可以把上述公式统一成为：

D?dw??w

?D即：k+1阶外微分形式在k维区域所围的k+1维区域上的积分等于k阶外微分形式w在k维区域上的积分。

综上所述，积分与微分其实是同一个量（原函数的增量F(b)?F(a)）的整体形式与局部形式，积分是微分的积累，微分是积分的分解，积分与微分是整体与局部的关系，这是积分与微分的最基本的关系。虽然从牛顿—莱布尼兹公式的表面看，该公式反映的是一元函数积分与微分之间的基本关系，但事实上整个微积分上都是微分与积分的关系，面由线组成，体由面组成与线由点组成一样，都是整体与局部的关系。因此，二重积分与定积分、三重积分与二重积分也可以说是积分与微分的关系，这种观点一直可以推广到高维空间。所以，无论是积分与微分的关系，还是高维空间积分与低维空间积分之间的关系都包含在这个定理之中。总而言之，牛顿一莱布尼兹公式确实是名副其实的整个微积分的基本定理，是微积分理论的基础，特别是积分学理论的基础。

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第三章 微积分基本定理的证明

在我们所学的数学分析中可以看到：

引理：设f?x?在?a,b?上可积，作函数F?x???f?t?dt,x??a,b?则

axF?x?是?a,b?上的连续函数；

若f?x?在?a,b?上连续，则F?x?在?a,b?上可微，且有F??x??f?x?。 证 由定理条件，知F?x?在整个?a,b?上有定义。由定积分的区间可加性，

F?x??x??F?x???x??xaf?t?dt??f?t?dt??axx??xxf?t?dt。

记m,M分别为f?x?在?a,b?上的上确界和下确界，由定积分第一中值定理，即得到

????m,M??，若f?x?在?a,b?上可积。????x F?x??x??F?x???若f?x?在?a,b?上连续。?f?????x??在x与x??x之间?，显然，不管在哪一种情况下，当?x?0时都有F?x??x??F?x??0，即F?x?在?a,b?上连续。

若f?x?在?a,b?连续，当?x?0时有??x，因而f????f?x?，于是

F??x??limF?x??x??F?x??limf????f?x?。

?x?0?x?0?x 证毕

3.1微积分基本定理的一个证明

（微积分基本定理）设f?x?在?a,b?上连续，F?x?是f?x?在?a,b?上的一个原函数，则成立?f?x?dx?F?b??F?a?。

ab证 设F?x?是f?x?在?a,b?上的任一个原函数。而由引理，?f?t?dt也是f?x?在?a,b?上

ax的一个原函数，因而两者至多相差一个常数。记?f?t?dt?F?x??C，

ax令x?a，即得到C??F?a?，所以?f?t?dt?F?x??F?a?。

ax 20