2011年台湾区第二次高考数学甲 试题与参考答案

2011年台湾区第二次高考数学甲 试题与参考答案

第壹部分﹔选择题（单选题、多选题及选填题共占76分） 一﹑单选题（24分）

说明﹔第1题至第4题﹐每题5个选项﹐其中只有1个是最适当的选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各

题答对得6分﹐未作答、答错、或画记多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒ ( )1. 考虑坐标平面上满足2x?5y的点P?x,y?﹐试问下列哪一个选项是错误的﹕

?0(1)?0,0?是一个可能的P点 (2)?log5,log2?是一个可能的P点 (3)点P?x,y?满足xy

(4)所有可能的点P?x,y?构成的图形为一直线 (5)点P的x﹐y坐标可以同时为正整数﹒

( )2. 将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方2?2的方格中﹐每个方格中恰填一数字

﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字」的机率为多少﹕ (1)

116 (2)

964 (3)

2564 (4)

9256 (5)

25256﹒

( )3. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除

内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中

??心﹐其中x﹐y分别为原点

??12个顶点的向量﹐都写成为ax?by的形式﹐则

(1)2 (2)3 (3)4 (4)5 (5)6﹒

方程式 ffO到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星

a?b的最大值为何﹕

( )4. 设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹔

相异实根的个数 1 3 3 1 1 ?x??20?x??10f?0 ?0 ?x??0 ?0 ?0ff?x??10?x??20 关于f的极小值?﹐试问下列哪一个选项是正确的﹕ (1)?不存在 (2)?20????10 (3)?10???0 (4)0???10 (5)10???20﹒

注﹔极小值是指相对极小值﹐或称为局部极小值﹒

1

二﹑多选题（24分）

说明﹔第5题至第7题﹐每题有4个选项﹐其中至少有1个是正确的选项﹒选出正确选项﹐画记在答案卡

之「解答栏」﹒各题之选项独立判定﹐所有选项均答对者﹐得8分﹐答错1个选项者﹐得4分﹐所有选项均未作答或答错多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒ ( )5.

?4设A???9a??b??6﹑B???c7??d??3﹒已知AB????210??15?且A的行列式之值为2﹐试问下列哪些选项是

正确的﹕ (1)9a?4b??2 (2)ac??24 (3)d??15

(4)??b??9?a??4??4??9a??1???b??00??1?﹒

( )6. 假设两地之间的通话费﹐第一个半分钟是5元﹐之后每半分钟是2元﹐不满半分钟以半分钟计算

﹐则t分钟的通话费C?t?公式如下（单位元）?

C?t??5?2?1?2t?﹐

?4其中?x?表示小于或等于x的最大整数﹐例如﹔?3.5??3﹐??3.1??哪些选项是正确的﹕

(1)10分钟的通话费是43元 (2)在t(4)

t?11.2﹐??5???5等﹒试问下列

?0时﹐?1?2t????2t?1?恒成立 (3)limC?t??t?10.545

limC?t??49﹒

( )7. 在坐标空间中﹐有一边长为2﹑中心在原点O的正立方体﹐且各棱

边都与三坐标平面平行或垂直﹐如图所示﹒已知A?1,?1,0?﹑

B?0,1,?1?﹑C??1,0,1?这三点都是某平面E和正立方体棱边的交点

﹒试问下列哪些点也是平面E和正立方体棱边的交点﹕ (1)?

三﹑选填题（28分）

说明﹔第A题至第D题为选填题﹐将答案画记在答案卡之「解答栏」所标示的列号（8 – 15）内﹒每一题

完全答对得7分﹐答错不倒扣?未完全答对不给分﹒ A. 如图所示﹐PQRS为一给定的矩形﹐长PQ角形﹐其中ABABC?11?,,?1? ?22? (2)??1,1,0? (3)?0,?1,?1? (4)??2,1,1?﹒

?12﹑宽QR?5﹐而△ABC为等腰三

?AC﹐P﹑Q在BC边上﹐R﹑S分别在CA﹑AB边上﹐则当△

8○9 时﹐△ABC的面积为最小﹒ 中BC边上的高为 ○

B. 某手机公司共有甲﹑乙﹑丙三个生产线﹐依据统计﹐甲﹑乙﹑丙所制造的手机中

分别有5%﹐3%﹐3%是瑕疵品﹒若公司希望在全部的瑕疵品中﹐由甲生产线所制造的比例不得超过

51210○11 %﹒ ﹐则甲生产线所制造的手机数量可占全部手机产量的百分比至多为 ○

C. 坐标平面上﹐已知函数f?x??y?f4x?x?2的图形以A?1,3?3为切点的切线为L﹐则以切线L及曲线

12○13 ﹒ ?x?为界所围成区域的面积为 ○

2

D. 坐标空间中﹐若平面E(1)平面E与平面F:ax?by?cz?1满足以下三条件﹔

:x?y?z?1有一夹角为30?﹐

(2)点A?1,1,1?到平面E的距离等于3﹐ (3)a?b?c?0﹐

14 ○15 ○

则a?b?c的值为

﹒（化成最简分数）

第贰部分﹔非选择题（占24分）

说明﹔本大题共有二题计算证明题﹐答案务必写在答案卷上﹐并于题号栏标明题号(一﹑二)与子题号

((1)﹑(2))﹐同时必须写出演算过程或理由﹐否则将予扣分﹒务必使用笔尖较粗之黑色墨水的笔书写﹐且不得使用铅笔﹒每题配分标于题末﹒ 一﹑已知实系数三次多项式函数y?f?x?的最高次项系数为12﹐其图形与水平线y?25交于相异的三点

?0,25?﹐?1,25?及?2,25?﹒ (1)试求曲线y?f20?x?图形上的反曲点坐标﹒（6分）

f(2)试求定积分??x?dx之值﹒（6分）

?12x?41x?20??1的x2二﹑(1)试求所有满足log?x3(2)试证﹔当

3?2???2?值之范围﹒（6分）

时﹐3cos??31?sin?﹒（6分）

3

答 案 第壹部分﹔选择题 一﹑单选题

1.(5) 2.(2) 3.(4) 4.(3) 二﹑多选题

5.(1)(3) 6.(1)(4) 7.(2) 三﹑选填题

A. 10 B. 30 C. 27 D.

31

第贰部分﹔非选择题 一﹑(1)?1,25? (2)50 二﹑(1)1?

x?5或x?6 (2)略

出处及解析 第壹部分﹔选择题 一﹑单选题

1. 出处﹔第二册 第一章 指数与对数 解析﹔ 将2x

2. 出处﹔第四册 第三章 机率与统计(I) 解析﹔

因为将4个相异数字可重复的填入4个方格中﹐所以样本空间共有44设填入A,B两方格的数字分别为a,b﹐且a?b?256?5y两边取log﹐得log2x?log5yy﹐即xlog2?ylog5﹒

(1) 因为?x,y???0,0?满足2x?5﹐所以?0,0?是一个可能的P点﹒

?ylog5(2) 因为?x,y???log5,log2?满足xlog2(3) 由xlog2?ylog5﹐所以?log5,log2?是一个可能的P点﹒ ﹒

﹐知x与y同号﹐所以xy?0?0(4) 因为P?x,y?满足?log2?x??log5?y﹐所以P?x,y?构成的图形为一直线﹒

?5y(5) 若x,y同时为正整数﹐则2x为偶数﹐5y为奇数﹐这与2x数﹒ 故选(5)﹒

矛盾﹒因此﹐x,y不可以同时为正整

个元素﹒

﹒此时数对?a,b?有以下6种情形﹔

?2,1?,?3,1?,?3,2?,?4,1?,?4,2?,?4,3?﹒ 同理﹐填入C,D两方格的数字也有6种情形﹒ 因此﹐所求机率为故选(2)﹒

4

6?6256?964﹒