2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案文（含解析）北师大版

?12?C．?，? ?23?

则f(105.5)＝________.

?12?D．?，? ?23?

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x)f(x＋2)＝－1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，

(3)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上是增加的，设a＝f(3)，

b＝f(2)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．

(1)A (2)2.5 (3)a＞b＞c [(1)因为f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称， 又f(x)在[0，＋∞)上是增加的，

f(2x－1)＜f ??，

3

112

所以|2x－1|＜，所以＜x＜. 333

(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－

?1???

f1x＋

＝－

－11

＝f(x)，

fx故函数f(x)的周期为4.

所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)， 因为2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. 所以f(105.5)＝2.5

(3)由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，则f(3)＝f(1)，f(2)＝f(0)，f(2)＝f(2－2)＝f(2－2)，

由于0＜2－2＜1，且函数f(x)在[0,1]上是增加的， 所以f(3)＞f(2)＞f(2)，即a＞b＞c.]

1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x＋x，则f(2)＝________.

12 [法一：令x＞0，则－x＜0. ∴f(－x)＝－2x＋x.

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x－x(x＞0)． ∴f(2)＝2×2－2＝12.

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法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)＋(－2)]＝12.]

2．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________. 1 [∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，

∴－xln(－x＋a＋x)－xln(x＋a＋x)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]

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